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向量与坐标知识点总结
解析几何复习知识点总结
向量与坐标
第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.
模为1的向2，e3}就叫做笛卡儿标架。两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。在一般情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架。
标架一般是完全决定空间坐标系来用的，所以空间坐标系也可以用标架{O；e1，e2，e3}来表示，这时候点O就可以叫做坐标原点，而向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。
当空间取定标架{O；e1，e2，e3}后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。此时，向量或点关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。标架是空间坐标系的向量化。
笛卡尔坐标系(Cartesian)- 系统用 X、Y 和 Z 表示坐标值。
柱坐标系(Cylindrical)- 系统用半径、theta (q) 和 Z 表示坐标值。
球坐标系(Spherical)- 系统用半径、theta (q) 和 phi (f) 表示坐标值。

设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记做射影向量lAB
射影lAB=|AB|COSθ，θ=∠（l，AB）

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos
〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
3．|a·b|与|a|·|b|不等价
4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。
运算法则：运用三阶行列式
设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量
A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=
a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a平行b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=－b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c.
（a+b）×c=a×c+b×c.
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。
如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对