正弦定理、余弦定理.doc

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余弦定理
编稿：张希勇　　　审稿：李霞
【学习目标】

：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
：
已知条件
解法
解的情况
一边和两角（例如a,B,C)
1．利用A+B+C=180°，求A
2．应用正弦定理求b,c
唯一解
两边和夹角（例如a,b,C）
1．应用余弦定理求边c
2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）
3．利用A+B+C=180°，求第三个角.
唯一解
三边
（例如a,b,c)
法一:1、应用余弦定理先求任意两个角
2．用A+B+C=180°，求第三个角
法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角
2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）
3、利用A+B+C=180°，求第三个角
唯一解
两边及其中一边的对角（例如a,b,A)
此类问题首先要讨论解的情况
1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）
2、利用A+B+C=180°，求第三个角
3、应用正弦或余弦定理求第三边
两解、一解或无解
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。
要点三、利用正、余弦定理判断三角形的形状
余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.
判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.
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【典型例题】
类型一：余弦定理的简单应用：
例1．（2016春 盐城校级期中）已知中，如果，那么此三角形最大角的余弦值是 。
【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
【解析】，
由正弦定理可知，令，所以边c对应的角最大

【总结升华】
，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】(2015 广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，，，且