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冰山运输数学模型
摘要
当今社会，水资源短缺已成为世界性问题，水资源紧张地区正不断扩大，
除淡化海水的方法号
符号说明
m
:拖船的日租金（小、中、大）i1,2,3
v
拖船的速度
T
拖船到达波斯湾所用的总时间
t
距离南极为d时所需的时间
S
冰山融化速率
d
拖船与南极的跑离
D
南极到波斯湾的总跑离
qo
每千米燃料消耗费用
q
每天燃料消耗费用
Q
燃料消耗的总费用
M
拖船到达波斯湾所用租金
Ro
冰山原来的半径
R
冰山融化后的半径
No
冰山开始的体积
N
变化后冰山体积
y
每立方水所需费用
Y
拖船到达波斯湾时所需的总费用
.模型建立
本文的目的是选择出拖船的最适船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的每立方米水所花的费用最低，通过问题分析可以分别从冰山的融化规律、燃料消耗费用、冰山运输的总费用、冰山到达目的地可获得的水体积和每立方米水的费用建立数学模型。
冰山的融化规律
假设运输过程中距离南极的距离为dkm,拖船的船速为vkm/h,融化速率
为S,由表三可以得到如图1
图1
通过图1,很明显看出：当距离0d4000km时，融化速率S不仅与船
速v成线性关系，而且也与距离d呈线性关系，也就是说，船速越快，距离越
远，冰山接触的温度越高，导致它融化越快；当d4000km时，距离对融化
速率的影响忽略，没有影响，所以这时融化速率S只与船速v呈线性关系。那
么通过数据拟合公式可设融化速率S的函数关系式为:
S k1d k2vb 0 d 4000
k2v b
d 4000
(1)
然后将表2相关数据代入可得到:
k1,,
、30002
当拖船从南极出发行走t天时，与南极距离为
由（1）、 （2）及k1,k2,b的值得:
1 .
与vt
125

d 24vt
0 t
500
500
节
400
v
接下来求变化后冰山体积设第t大冰山半径为B,体积为N,则
t
RtR。0Sdt
（4）
(5)
N\卬凡4■咫
33
其中RpV0为从南极启运时冰山的开始半径和体积。
由（4）、（5）得冰山体积为：
N冬（33N0:Sdt）3
3I40
(6)
燃料消耗费用
由表2中的数据，通过Matlab拟合可得图形如图2所示:
14
由图可知每千米燃料消耗量q0与船速v和冰山体积N的对数呈线性关系,
则可设其函数关系式为:
qoc1vc2lgNc3(7)
其中q,c2,c3为待定参数，根据表2中数据可求得
,c26,c31
所以
(8)
则每天燃料消耗量为
q24vq0(9)
把(2)式代入(3)式，再根据(6)式得
，3券：Sdt)31(⑼
所以，总燃料消耗量为
T
Q ° qdt
T
o v 6 lg
I*
Sdt)3
1 dt
冰山运输总费用
冰山运输的总费用是由租金的总费用和燃料消耗总费用相加
由表
知船
的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积
N0决定，记日租金为
m(N0),则有

m(N。)

N0 5 105
5 105 N0 106
106 N0 107
又冰山运输总时间为:
T D 9600 400
24v 24v ~V
所以租金总费用为:
M m(N0)T 400m(N。)
由（11）、（8）式可得冰山运输总费用为
Y m q 400m(n0)
t
0 s出)
3 1 dt
(15
冰山运到目的地后化成水的体积为:
'(33r0Qdt)3(16)
3t40
每立方米水所需费用为:
4O0m(No)。0Sdt)31dt
(33N。。&1)3
(17)
.模型求解
首先，对（3）式进行积分运算，有
400
500 dt
t500
Sdt百1-
o0125
（18）进而求出不同的船速下冰山到达目的地之后总的融化深度，如表4所
示:
表4
船速v
1
2