以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用.doc

论文编号：
以形助数,以数解形
—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在,利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中一些问题中的代数式， 比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来, 问题的结果便可一目了然.
在不等式中的应用
例1. 如图1，直线y1=kx+b过点A(0，2),且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b的解集是_________（精品文档请下载）
分析:这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的,因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k、b， 以及m的。所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x在什么范围时,y1＞y2 或者y2＞y1（精品文档请下载）
解:
不等式mx＞kx+b 即y2＞y1 ，通过观察图像，结合p点横坐标，在交点p的右侧，即当x＞1时,y2＞y1（精品文档请下载）
∴mx＞kx+b的解集是x＞1
在方程或方程组中的应用
例2。(1）求方程的实数根的个数。
(2)求方程的实数根的个数。
分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程的根的情况，可以看成是 (抛物线)与y=0 （x轴）的交点的情况,我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、，（1)问中，我们可以把方程左边看成抛物线，右边看成直线
y= -1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线与直线没有交点,故原方程就没有实数根.（2）问中，如果直接去解方程，势必会得到一个三次方程,解起来很困难。若利用数形结合的方法,,转化成求函数与y=的图像的交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点,所以原方程只有一个根.（精品文档请下载）
(三)函数与函数图像中的应用
例3. 抛物线（a＞0)的对称轴是直线x=2，且经过点p（3，0)，试判断a—b+c的符号.
分析：此题如果直接求a,b,c的话，根据已有的条件,a,b,c三个值是无法一一求出的，只能用一个字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c求出. 如果能从函数图像着手，以形助数的话，就很简单了。当x= —1时,y=a—b+,很容易判断a-b+c是大于
0的. （精品文档请下载）
应用题中的应用
，一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，匀速行驶，，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇,求甲乙两地的距离。（精品文档请下载）
分析：此题如果用代数的解法,需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想。但是如果能将两车的距离（y)与时间（t)的图像画出,如图5，再借助解析几何或平面几何的知识,会变得简单。（精品文档请下载）
解:法1：利用待定系数法将直线AB的解析式求出， y=—140x+280，甲乙两地的距离实际就是A点的纵坐标,故令x=0求出y=280.（精品文档请下载）
法2：设点（1。5，70)为C点，过C作CD⊥x轴于D，因为△AOB∽△CDB ，
所以 OA=280.
二。以数解形，化