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函数单调性的判定方法
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1. 判断具体函数单调性的方法
定义法
一般地，设 f 为定义在 D 上的函数。若对任何 x1 、 x2 D ，当 x1 x2 时，总有
(1) f ( ) ( ) ，则称 f
函
数
k
y
x
(k R且 k 0 )
时单调减；
当 k 0时, y 在 x 0 时单调增，在 x 0
时单调增。
指
数
函
数
y a
x
当 a 1 时， y 在 R上是增函数；
当 0 a 1，时 y 在 R上是减函数。
当 a 1 时， y 在 (0, ) 上是增函数；
对
数
函
数
y log a x
当 0 a 1时， y 在 (0, ) 上是减函数。
一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
⑴． f (x) 与 f ( x) +C 单调性相同。 （C 为常数）
⑵．当 k 0 时， f (x) 与 kf ( x) 具有相同的单调性；当 k 0 时， f (x) 与kf (x) 具有相反的单调性。
⑶．当 f (x) 恒不等于零时， f ( x) 与
f
1
(x)
具有相反的单调性。
⑷．当 f (x) 、 g(x) 在 D 上都是增（减）函数时，则 f ( x) ＋ g( x) 在 D 上是增（减）函数。
⑸．当 f (x) 、g(x) 在 D 上都是增 （减） 函数且两者都恒大于 0 时， f (x) g( x) 在 D 上是增 （减） 函数； 当 f (x) 、
g(x) 在 D 上都是增（减）函数且两者都恒小于 0 时， f (x) g(x) 在 D 上是减（增）函数。
⑹．设 y f (x) , x D 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 f 1，且 f 1 在其定义域 f (D) 上也是严格增（减）
函数。
3 x3 1 x
x 2 的单调性。 例 3. 判断 ( ) log 2 ( 1) 5
f x x x
2
解: 函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ，由简单函数的单调性知在此定义域内
x, x x 均为增函数，因为
3 , log 3
2
x , x2 1 0 由性质⑸可得 2 ( 1)
1 3 log 为增函数， 2 0
2
再由性质⑴知函数 ( ) 3 log x3 2x 1(x2 1) +5 在(0, ) 为单调递增函数。
f x x x
2
x a
例 4. 设函数 f ( ) (a b 0) ，判断 f ( x) 在其定义域上的单调性。
x
x b
解: 函数
x a
f (x) 的定义域为 ( , b) ( b, ) .
x b
先判断 f (x) 在( b, ) 内的单调性， 由题可把
x a
f (x) 转化为
x b
a b
f (x) 1 ，又a b 0 故a b 0 由
x b
1
性质⑶可得 为减函数； 由性质⑵可得
x b
a
x
b
b
为减函数； 再由性质⑴可得
a b
f ( x) 1 在( b, ) 内是减函
x b
数。
同理可判断 f ( x) 在( , b) 内也是减函数。故函数
x a
f (x) 在( , b) ( b, ) 内是减函数。
x b
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟
悉的单调函数的四则混合运算的形式， 然后利用函数单调性的性质去判断， 但有些函数不能化成简单单调函数四则
混合运算形式就不能采用这种方法。
图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数 f ( x) 的图像在区间 I 上从
左往右逐渐上升则函数 f (x) 在区间 I 上是增函数；若函数 f (x) 图像在区间 I 上从左往右逐渐下降则函数 f (x) 在
区间 I 上是减函数。 、
例 5. 如图 1-1 是定义在闭区间 [-5,5] 上的函数 y f (x) 的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数 y f (x) 的单调区间有 [-5,-2 ），[-2,1 ），[1,3 ），[3,5 ）. 其中函数 y f (x) 在区间
[-5,-2 ），[1,3 ）上的图像是从左往右逐渐下降的， 则函数 y f (x)在区间 [-5,-2 ），[1,3 ）为减函数； 函数 y f (x)
在区间 [-2,1 ），[3,5] 上的图像是从往右逐渐上升的，则函数 y f (x) 在区间 [-2,1 ），[3,5] 上是增函数。