函数的单调性.docx

f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数时，那么f(x)＋g(x)在D上是增〔减〕函数。 ⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增〔减〕函










数；当f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减〔增〕函数。
⑹．设y?f(x),x?D为严格增〔减〕函数，那么f必有反函数f?1，且f?1在其定义域f(D)上也是严
格增〔减〕函数。
(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,??)，由简洁函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3 均为增函数，因为2x?1?0,x2?1?0由性质⑸可得2x?1(x2?1)也是增函数；由单调函数的性质⑷知再由性质⑴知函数f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)+5在(0,??)为单调x?x3?log2x为增函数，
3
递增函数。
x?a
(a?b?0)，判定f(x)在其定义域上的单调性。 x?bx?a
解:函数f(x)?的定义域为(??,?b)?(?b,??).
x?b
a?bx?a
先判定f(x)在(?b,??)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又a?b?0故
x?bx?b
1a?ba?b










a?b?0由性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得为减函数；再由性质⑴可得f(x)?1?
x?bx?bx?b
(x)?
在(?b,??)内是减函数。
同理可判定f(x)在(??,?b)内也是减函数。故函数f(x)?
x?a
在(??,?b)?(?b,??)内是减函数。 x?b
函数性质法只能借助于我们熟识的单调函数去判定一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟识的单调函数的四那么混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判定，但有些函数不能化成简洁单调函数四那么混合运算形式就不能采纳这种方法。
图像法
用函数图像来判定函数单调性的方法叫图像法。依据单调函数的图像特征，假设函数f(x)的图像在区间I上从左往右渐渐上升那么函数f(x)在区间I上是增函数；假设函数f(x)图像在区间I上从左往右渐渐下降那么函数f(x)在区间I上是减函数。、
例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?f(x)的图像，试判定其单调性。
解：由图像可知：函数y?f(x)的单调区间有[-5,-2〕，[-2,1〕，[1,3〕，[3,5〕.其中函数y?f(x)在区间[-5,-2〕，[1,3〕上的图像是从左往右渐渐下降的，那么函数y?f(x)在区间[-5,-2〕，[1,3〕为减函数；函数y?f(x)在区间[-2,1〕，[3,5]上的图像是从往右渐渐上升的，那么函数y?f(x)在区间[-2,1〕，[3,5]上是增函数。










?f(x)?x?1；?g(x)?2x；?h(x)?2x?x?1在[-3,3]上的单调性。
分析：视察三个函数，易见h(x)?f(x)?g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出
f(x)?x?1和g(x)?2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h