正定二次型和正定矩阵课件.ppt

关于正定二次型和正定矩阵
现在学习的是第1页，共29页
*
*
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于意 ,由于P可逆,PX≠o,故
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.
现在学习的是第9页，共29页
*
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
为对角形.
现在学习的是第10页，共29页
*
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.
证明必要性设AB正定,则AB对称,
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
现在学习的是第11页，共29页
*
*
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进
定义 给定实对称矩阵
则其前s行前s列元素组成的行列式

现在学习的是第12页，共29页
*
*
的行列式.
定理 实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.
现在学习的是第13页，共29页
*
*
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
解
故A正定.
现在学习的是第14页，共29页
*
*
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
.

3. 可逆.
.
.
现在学习的是第15页，共29页
*
*
例 判断下列二次型是否正定:
现在学习的是第16页，共29页
*
现在学习的是第17页，共29页
*
例 t在什么范围取值时二次型
是正定二次型?
解
现在学习的是第18页，共29页
*
现在学习的是第19页，共29页
*
定义 实对称矩阵A的第 行和第
列的元素组成的行列式称为主子式.
例如
是2阶顺序主子式.
现在学习的是第20页，共29页
*
*
实对称矩阵A半正定的充分必要条件是
.

=r.
.
现在学习的是第21页，共29页
*
定理 实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负.
证明 +
个.
现在学习的是第22页，共29页
*
其顺序主子式
是A的 阶主子式之和,故
正定,对于任意非零向量X, 令 得
故A半正定.
现在学习的是第23页，共29页
*
例
但A并非半正定，事实上，A对应的二次型
主子式
顺序主子式
现在学习的是第24页，共29页
*
*
三、正定矩阵的性质
,则|A|>0,A可逆.
,则A-1也是正定矩阵.
证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.
.
4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵.
,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵.
,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT.
7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零.
现在学习的是第25页，共29页
*
*
证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.
8. 若A为n阶正定矩阵, 则 正定.
证明 对于任意m维列向量 由于
矩阵P的列向量组线性无关, 是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故
故 是正定矩阵.
现在学习的是第26页，共29页
*
*
的若干性质
,则 为正定矩阵.
证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆,