第四讲--四点共圆问题(共3页).doc

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第四讲 四点共圆问题
“四点共圆”个方面.
(1)证角相等
例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.
　　　求证：∠DMA＝∠CKB.
（第二届袓冲之杯初中竞赛）
分析：易知A，B，M，，
有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC
＝180°，
　　　∴∠CMK+∠KDC＝180°.
　　　故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC.
　　　但已证∠AMB＝∠BKA，
　　　∴∠DMA＝∠CKB.
(2)证线垂直
例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，
BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相交于B和
：∠BMO=90°.
(第26届IMO第五题)
分析：这道国际数学竞赛题，，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆
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”，问题是不难解决的.
连接OC，OK，MC，MK，∠GMC=
∠BAC=∠BNK=∠∠COK=2·∠BAC=∠GMC+
∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°C，O，K，M四点共圆.
在这个圆中，由
OC=OK OC=OK∠OMC=∠OMK.
但∠GMC=∠BMK，
故∠BMO=90°.
(3)判断图形形状
例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.
试证：IAIBICID是矩形.
(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)
分析：连接AIC，AID，BIC，
∠AICB=90°+∠ADB=90°+
∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四点
共圆.
同理，A，D，IB，
∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，
∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，
∴∠AICID+∠AICIB
=360°-(∠ABC+∠ADC)
=360°-×180°=270°.
故∠IBICID=90°.
同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.
(4)计算
例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝
一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:=__________
(1989，全国初中联赛)
分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢？
连接OA，，P，A，B
四点共圆，有∠APB=∠AOB=90°.
故PA2+PB2=AB2=1989.
由于PA:PB=5:14，可求PB.
(5)其他
例7．