高等数学 全微分PPT课件.ppt

、、作业应用一元函数y = f (x) 的微分)(xoxAy?????xxfy???)(d???近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束一、全微分的定义定义:如果函数z = f ( x, y )在定义域D的内点( x , y )),(),(yxfyyxxfz???????可表示成,)(?oyBxAz??????其中A , B 不依赖于?x ,? y , 仅与x , y 有关,称为函数),(yxf在点(x, y) 的全微分, 记作yBxAfz?????dd若函数在域D内各点都可微,22)()(yx?????则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微, x B y? ??(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz?????????)()(lim0??oyBxA??????下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微),(lim00yyxxfyx????????由微分定义:得zyx?????00lim0?),(yxf?函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微,则该函数在该点偏导数yzxz????,yyzxxzz????????d( , ) ( , )xz f x x y f x y? ????xz???同样可证,Byz???yyzxxzz????????d证:由全增量公式,)(?oyBxAz??????,0??y令)(xoxA????必存在,且有得到对x的偏增量因此有xzxx?????0limA?????xxu推广:, 三元函数),,(zyxfu??ud作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd??????zzud???xxud??uyduzd的全微分为????yyuzzu???于是机动目录上页下页返回结束uuuzyxd,d,d反例: 函数?),(yxf易知(0, 0) (0, 0) 0 ,x yf f? ?但])0,0()0,0([yfxfzyx?????因此,函数在点(0,0) 不可微.)(?o?注意:定理1 )()(yxyx?????22)()(yxyx??????22)()(yxyx???????0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222???yxyxyx0,022??yx]),([yyxxf?????定理2 (充分条件)yzxz????,证:),(),(yxfyyxxfz???????)1,0(21????xyxfx???]),([??????yyyxfy???),(2????????xyyxxfx),(1?),(yyxf???)],([yxf??),(yyxf??yyxfy???]),([若函数),(yxfz?的偏导数( , ) ,x y在点连续则函数在该点可微分.??0lim00??????yx,0lim00??????yx???zyyxfxyxfyx????),(),(yyxfxyxfzyx?????),(),(x y? ?? ??? ??? ?所以函数),(yxfz?),(yxyx??????在点可微.??????0lim00??????yx,0lim00??????yx注意到, 故有)(?o?可微连续可导???在多元函数中, 三者的关系如何?