初中数学竞赛——圆4.四点共圆(2).docx

初中数学竞赛——圆4.四点共圆(2).docx第 1 讲四点共圆
典型例题
. 基础练习
【例 1】 如图， P 为△ ABC 内一点， D、 E 、F 分别在 BC 、CA 、AB 上．已知 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆， P、
【例 12 】 如图 7－ 64 ，P 为△ ABC 外接圆一随意一点， 点 P 到△ ABC 三边的垂足分别为
3
D、 E、 F 三点成向来线．
【例 13】
如图 7-65 ，在 □ ABCD
中，过
D、 B 两点作一圆，交平行四边形四条边
( 或
它们的延伸线
) 于点 E、 F、 G、H．求证：
EF// GH．
【例 14 】 如图 7-67 ， AB 为半圆的直径，弦 AC 、BD 订交于点 H， HP ⊥ AB ．求证：∠ 1
＝∠ 2．
【例 15 】 如图 7－ 68，四边形 ABCD 是正方形，点 E 为 BC 上的任一点， AE ⊥ EF ， EF
交∠ BCD 的外角均分线于点 F．求证： EA =EF ．
【例 16】 在等边三角形 ABC 中， D、 E 分别是边 BC 、 AC 上的点，且有
BD CE 1 CD ，连接 BE 、 AD 交于点 P ，求证： CP AD ．
2
A
E
P
B D C
【例 17 】 设凸四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相互垂直，垂足为 E ，证明：点 E 关
于 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的对称点共圆．
【例 18 】 证明：三角形的三条高交于一点．
【例 19】 已知在凸五边形 ABCDE 中， BAE 3 ，BC CD DE ，且
BCD CDE 180 2 ，求
证： BAC CAD DAE ．
A
B E
C D
5
【例 20 】 如下图，设 N 是正九变形， O 为其外接圆的圆心， PQ 和 QR 是 N 的两相
邻边， A 为 PQ 的中点，而 B 为垂直于 QR 的圆半径的中点，试求 AO 与 AB 的夹角．
P
A
Q
C
O B
R
【例 21 】 如图，已知 △ ABC 内接于 ⊙O ， AD 、 BD 为 ⊙O 的切线，作 DE ∥ BC ，
交 AC 于 E，连接 EO 并延伸交 BC 于 F ，求证： BF FC ．
A
E
D
O
B F C
【例 22 】 如图，在凸四边形 ABCD 的 BC 边上取 E 和 F （点 E 比 F 更凑近点 B ）．已
知 BAE CDF 及 EAF FDE ，证明： FAC EDB ．
B E F
C
A D