高一数学函数值域解题技巧.docx

高一数学函数值域解题技巧.docx观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+/(2—3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出a/(2-3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知7(2—3x)20,
故 3呵。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求 函数的值域。
单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x—a/1-3x(x<1/3)的值域。
点拨：由己知的函数是复合函数,即g(x)= —0-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为 x<1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)=一山-3x ,(xM1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x—/1-3x
在定义域余x《1/3上也为增函数，而且y<f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值 域为｛y|y<4/3) o
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数y=3+/4-x的值域。(答案：(y|y>3))
换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式， 进而求出值域。
例2求函数y=x-3+/2x+1的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确 定原函数的值域。
解：设 t=^2x+1 (t>0)，则
x=1/2(t2-1)o
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1 /2(t+1 )2-4>1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为{y|y>—7/2) □
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值， 从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应 用十分广泛。
练习：求函数y=Vx-1 -x的值域。(答案：(y|y<—3/4}
构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=Vx2+4x+5+/x2-4x+8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为 f(x)=V(x+2)2+1+W2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形。设 HK=x,则 ek=2-x,KF=2+x,AK=V(2-x)2+22 ,
KC=V(x+2)2+1 o
由三角形三边关系知，AK+KC>AC=5o当A、K、C三点共
线时取等号。
..•原函数的知域为{y|y>5)-
点评：对于形如函数y=/x2+a ±V(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何 图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数 y=Vx2+9+/(5-x)2+4 的值域。(答案：{y|y25V2})

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数， 进而求出原函数的