高中数学解题技巧-数列放缩(共25页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
数列放缩技巧
证明数列型不等式，因,令有,令有,
所以,所以,令有,
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
所以,所以
例14. 已知证明.
解析: ,然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数；
(II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以

两式相加后可以得到
(3)
……

相加后可以得到:

精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
所以令,有

所以
(方法二)
所以
又,所以
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数

∴函数）上单调递增，在上单调递减.
∴的最小值为，即总有
而
即
令则


例17. ⑴设函数，求的最小值；
⑵设正数满足，证明
．
解析:对函数求导数：
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
于是
当在区间是减函数，
当在区间是增函数.
所以时取得最小值，，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii）假定当时命题成立，即若正数，
则
当时，若正数令
则为正数，且由归纳假定知
①
同理，由可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数
利用（Ⅰ）知，当
对任意
. ①
下面用数学归纳法证明结论.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业

由①得到
由归纳法假设


即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.
例18. 设关于x的方程有两个实根，且，定义函数若为正实数，证明不等式：.
解析:当
上为增函数
,
由可知同理可得
又由（Ⅰ）知
所以
三、分式放缩
姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得

即
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
:
解析: