极限计算方法总结.docx

极限计算方法总结(简洁版)
一、极限定义、运算法则和一些结果
.定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。
0,当|q| 1时
不存在，当|q | 1时
说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(例 5 lim 2-
x 0 3x
2 x
2sin 一
2
解：原式=lim 千
x 0 3x2
lxmo
2 x
2sin 一
2
12 (.2
注：本题也可以用洛比达法则。
2
例 6 lim (1 3sin x)X
x 0
1 6sin x
解：原式=xm0(1 3sinx)3sinx
lim0[(1
1
3sin x)W^]
6sin x
x
lim [(1 n
n 1 3n
户]n 1 e 3。
例7lim(n一2)nn1
解：原式=lim(1
n


例 8 lim x sin 一
解：原式=0 （定理2的结果）。
（定理 4）求极限
xln(1 3x)
例 9 lim 2
x 0 arctan(x )
解:
0B寸,ln(1 3x)〜3x, arctan(x2)〜x2,
原式= xim0
x 3x
2x
例10则
sin x e
sin x
解：原式=l如
sin x x sin x
e (e 1)
x sin x
_ sin x /
e (x sin x)
lim
x 0 x sin x
注：下面的解法是错误的:
原式=lxm0
x sin x
(e 1) (e 1)
x sin x
x sin x d
lim 1 。
x 0 x sin x
正如下面例题解法错误一样:
lim
tanx sin x
lim
x 0
x x
3x
例11
lim
x 0
2 . 1 \
tan(x sin—)
x
sin x
解:
0时，x2 sin—是无穷小,
x
tan(x2 sin 1)与x2 sin —等价
x x
2 . 1 x sin 所以， 原式=lim x
x 0 x
.. .1c
limxsin— 0 。（最后一步用到定理 2）
x 0 x

说明：当所求极限中的函数比较复杂时， 也可能用到前面的重要极限、 等价无穷小代换等方法。
洛比达法则还可以连续使用。
同时,
「 1 cosx
例 12 lim 2一
x 0 3x
(例4)
解：原式=lxm0
sin x
6x
1 口 …
一。（最后一步用到了重要极限）
6
x
cos——
例13lim-
x1x1
解：原式=limi
—sin —
2 2
1
,、 x
例 14 lim 一
x 0
sin x
-3 x
解：原式=xm0
1 cosx
3x2
= xm0
sin x 1
6x
—。（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 6
例 15 lim
x 0
sin x
xcosx
2
x sin x
解:
原式
lim
x 0
sin x xcosx
l