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实验动态法测量固体材料的杨氏模量
实验11 动态法测量固体材料的杨氏模量
,一～讲课提纲
【教学目的】
1(理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2(掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3(了解3000?左右。由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准(GB/T2105-91)推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常温条件下固体材料的杨氏弹性模量。
【实验目的】
1(理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2(掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3(了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4(培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
【实验原理】
如图1所示，长度L远远大于直径d(L>>d)的一细长棒，作微小横振动(弯曲振动)时满足的动力学方程(横振动方程)为
yy 42,yS,y,L ，,0 (1) x 42,xEJ,tO x x x 棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移， 图1 细长棒的弯曲振动 2 E为杨氏模量，单位为Pa或N/m;ρ为材料密度;S为截面积;J为 2J,yds某一截面的转动惯量，。 ,, s 横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用 y(x,t),X(x)T(t)分离变量法求解方程(1)，令，则有 421dX,S1dT ,,, (2) 42XEJTdxdt 3
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成
4立。假设此常数为K，则可得到下列两个方程
4dX4 (3) ,KX,04dx
24dTKEJ (4) ，T,02,Sdt
如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
(),，，cos，sinXxachKxashKxaKxaKx,1234 (5) ,(),cos(，)Ttb,t,,
于是可以得出
(6) y(x,t),(achKx，ashKx，acosKx，asinKx),bcos(,t，,)1234
式中
142，，KEJ, (7) ,,,,S,,，，
式(7)称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑
点)在试样的节点，则根据边界条件可以得到
cosKL,chKL,1 (8)
采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
KL=0，，，，，…… (9) n
其中第一个根KL=0对应试样静止状态;第二个根记为KL=，所对应的试样振动频率称为基振01
频率(基频)或称固有频率，此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根KL=(b)所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分
。将基频对应的K值代入频率公式，可得到杨氏模量为 1
(a) n=1 (b) n=2
图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形
43,LSLm,32,22E,，10,,，10f (10) JJ
4,d,J如果试样为圆棒(d<<L)，则，所以式(10)可改写为 64
3Lm2E, (11) 4d
同样，对于矩形棒试样则有
4
3Lm2 (12) E,
式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
如果圆棒试样不能满足d<<L时，式(11)应乘上一个修正系数T，即 1
3Lm2 (13) E,
上式中的修正系数T可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。 1
表1 径长比与修正系数的对应关系
径长比d/L 修正系数T 1
由式(10),(12)可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。
本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f和共振频率f是相关的两个不同概念，二者之固共
间的关系为
1f,f1， (14) 固共24Q
上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。