矩阵相似的性质(共6页).doc

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1 矩阵的相似
定义 ,使得，由于

显然是可逆矩阵。由此可见，则相似。
：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明：先证前一部分。设线性空间中线性变换 在两组基：
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（1） （2）
下的矩阵分别为和,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为，则：
，
于是
由此可得
现在证后一部分。设级矩阵和相似，那么它们可以
看作是维线性空间中一个线性变换 在基下
的矩阵。因为，令：
,显然， 也是一组基，在这组基下的矩阵
就是。
例一：证明与相似，其中 是的一个排列。
证明：设：，则，因为和
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是线性变换在不同基下的矩阵，故它们相似。
：设是数域上的两个级矩阵，与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价。
例一：设是实数，，,证明与相似。
证明：
故和等价，从而
3，矩阵相似的应用

：把矩阵（或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵（或线性变换 ）的初等因子。
：数域上的方阵相似的充要条件是和有相同的列式因子。
：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。
例1：证明：任何方阵与其转置方阵 相似。
证明：因为与 互为转置矩阵，它们对应阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故与 等价，从而与 相似。
例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。
证法一：设相似，即可存在可逆矩阵，使，又设的最小多项式分别为
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，于是：,但是，的最小多项式整除任何以为根的多项式，故
证法二：设相似，则和等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故有相同的最小的多项式。
相似矩阵与矩阵的对角化
矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的