微积分与数学建模知识总结.docx

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微积分与数学模型（上册）
任课教师：陈骑兵 小组成员
张程
王子尧
李昊奇
梅良玉积仍为无穷小量。
无穷小量的比较：
a若lim( 3 / a )=0,则称8是a的高阶无穷小，F
b若lim( 3 / a ) =8,则称0是a的低阶无穷小，
c若lim( 3 / a )=C#0,则称8是a的同阶无穷小，
d若lim( 3 / a )=1,则称8与a是等阶无穷小，记做8 ~ a。

连续函数的定义：
i若函数f (x)在包含X。的某个领域U(x0, 6)内有定义,且linix_xof(x)=f(x°), 则称f(x)在点X。连续
ii若函数f(X)在包含Xo的某个领域U(x0, 6)内有定义，且limAx^o A y=0,其中 △ y表示对应于自)在包含x。的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则
称f(x)在点X。右(左)连续。
间断点及其分类
满足条件：①f (x) x=x0
lim f(x)存在
x—>x0
lim f(x)=f (x0)
x—>x0
三者有一个不成立，则称f(x)在点X。间断，称X。为间断点
第一类间断点：①可去间断点②跳跃间断点
第二类间断点：①跳跃间断点②振荡型间断点
连续函数的运算性质与初等函数的连续性
连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在Xo连续，则f(x)±g(x),f(x) ・g(x) 及 f(x)/g(x) (g(xo)#O)都在 x°连续;
反函数的连续性若y=f(x)在区间lx上单值，单增(减)，且连续，则其反函 数x=(p(y)也在对应的区间ix={y|y=f(x),xcix}上单值，单增(减)，且连续；
复合函数的连续性函或U=(p(x)在点X=Xo连续，且(p(Xo)=Uo，函数y=f(u)
在点uo连续，则复合函数y=f((p(x))dt点xo处连续。
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

最值定理：
闭区间上的连续函数在该区间一定有界
闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值
介值定理：
设f(x)在［a,b］上连续，且f(a)。f(b),则对于f(a)f与f(b)之间的任 意常数C,
在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(a<x<b)
推论： 设f(x)在［a,b］上连续，则对于VCe (m,M),必存在xe (a,b),使
得 f(x)=C
零点存在定理：设f(x)在［a,b］上连续，且f(a)・f(b)<0,则在开区间(a,b)内,至 少存在一点3,
使得")=0,即f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
重点：i理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。
；性质和四则运算
iii掌握夹逼准则的定理及应用
iv掌握无穷小量的实质和性质
V理解连续函数的定义
难点：I掌握极限与连续函数间的内在联系
II掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用
III能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限
IV能牢记并准确判断出函数间断点的类型
V能运用数学建模解决实际问题
第二章导数与微分

设函数y = f(x)在X。点及其某领域内有定义，当自变量工在X。处取 得增量3 = y (x0 + Ax)-/ (x°),如果lim^ = lim/(X°+A%)-/(Xo)存在, x-o M 或一。 Ax
则称函数y = /(x)在点气处可导，并称此极限值为函数y = /(x)在点x0 处的导数，记为*°)。
常见的导数表达式还有：g = limE 一川。)和 f x-x0
r（Xo）= lim/（X° + A）-/（Xo）o
0如。 h
2. 1. 3单侧倒数
如果极限Hm^0+AX）-/（X0）存在，则称此极限值为函数y = /（X）在 Ar-O~ Zkx
气的左导数，记做f'g ,如果极限lim，3。+&）-f3。）存在,则称此 _ At-时 Ax
极限值为函数y = /■⑴的右导数，记做尤3°）。
2. 2函数的运算法则
(”±v)' = v±y'；
(2) (vv\^vv + vvf ；
(3)
,u、, vv + vv
(-)= —
V v~
(4)
基本初等函数的导数公式
(2) (xa)'=次妇；
(以=W；
⑹(ln J = L；
⑻(cos)' = -sin x;
(cotx)z = -csc (C)' = 0;
(dm；
(10g7 = ；;