离散小波变换.ppt

离散小波变换
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主要内容
引言
时频展开
使用Matlab
若干应用场景
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引言
小波变换的动机
福利叶变换是非常有效地计算工具
但是是时间亚元变换，在很多场合，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束
扩展小波ψ(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)
重复步骤1~4
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CWT的变换过程图示
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CWT性质
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CWT小结
小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。
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离散小波变换
在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。
为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2 ^j( j>0的整数)的倍数。
使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。
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离散小波变换定义
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。
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使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。
图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间-频率关系图
图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
离散小波变换分析图
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DWT变换方法
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器
该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法
这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码
用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示
S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号
A表示信号的近似值(approximations)
D表示信号的细节值(detail)
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在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。
比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。
在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。
双通道滤波过程
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离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树
原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解
信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。
如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)
分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
小波分解树
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小波包分解树
小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。
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cAj+1
cDj+1(h)
cDj+1(v)
cDj+1(d)
cAj
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
Lo_D
Hi_D
Lo_D
Hi_D
Lo_D
Hi_D
行
列
列下采样
行下采样
二维离散小波变换
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标准分解流程示意
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非标准分解是指使用一维小波交替地对每一行和每一列像素值进行变换。首先对图像的每一行计算像素对的均值和差值，然后对每一列计算像素对的均值和差值。这