C++课程设计-线性方程组求解.doc

信息系统开发语言(课程设计)信息系统开发语言(一)课程设计——线性方程组求解一、课程设计目的通过课程设计要达到两个目的,一是检验和巩固专业知识、二是提高综合素质和能力。课程设计主要是C++语言程序设计的实现。通过该课程设计,可以将我们课堂上掌握的理论知识与处理数据的业务相结合,以检验我们掌握知识的宽度、深度及对知识的综合运用能力。二、问题描述1)利用迭代法求线性方程组的解。2)输入线性方程组的系数矩阵和常数列——程序正常运行后,屏幕上显示一个文字菜单,当用户选定操作项目所对应的序号时,根据应用程序的提示信息,从键盘上输入相应的数据。输出数据——应用程序正常运行后,要在屏幕上显示一个文字菜单,要求用户输入数据时,要给出清晰、明确的提示信息,包括输入的数据内容、格式及结束方式等。三、问题分析迭代法原理:将原线性方程组Ax=b中系数矩阵的主对角线移到一边并将其系数化为一,然后在给定迭代初值的情况下通过迭代的方法求解线性方程组的值。①题目要求用迭代法给线性方程组求解,首先要了解迭代法这一算法是怎么实现求解组方程组。②用迭代法求线性方程时,需要输入一些什么数据,来实现方程求解的过程。③在求解过程中,方程组如出现无解、有限解、无限解该怎么处理。一般性用迭代法给方程求解如下:给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值0x定义数列信息系统开发语言(课程设计),,1,0),(1????nxfxnn(1),,1,0,??nxn称为f(x)的一个迭代序列。给定迭代函数f(x)以及一个初值0x利用(1)迭代得到数列,,1,0,??nxn如果数列nx收敛于一个*x,则有)(**xfx?(2)即*x是方程x=f(x)的解。由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。将方程g(x)=0改写为等价的方程x=f(x),(3)然后选取一初值利用(1)做迭代。迭代数列nx收敛的极限就是方程g(x)=0的解。用上述方程求方程的根的一个首要问题是迭代是否收敛?经过试验我们知道,使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g(x)=0的某一解的条件是迭代函数f(x)在解的附近的导数的绝对值近两小。这启发我们将迭代方程修改成xxfxhx)1()()(??????(4)我们需要选取?使得01)('|)('|??????xfxh得)('11xf???于是1)(')()(????xfxxfxxh特别地,如果f(x)=g(x)+x,则我们得到迭代公式.,1,0,)(')(1?????nxxnnxgxgnn(5)四、算法分析、(课程设计)用雅克比(Jacobi)迭代法求解设有n阶方程组???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????221122222**********(6)若系数矩阵非奇异,且0?iia(i=1,2,…,n),将方程组(6)改写成??????????????????????????????????11,221112323121222213132121111111nnnnnnnnnnnnnxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax?????然后写成迭代格式?????????????????????????????????????)(11,)(22)(11)1()(2)(323)(121122)1(2)(1)(313)(212111)1(1111knnnknknnnnknknnkkkknnkkkxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax?????(7)(7)式也可以简单地写为),,2,1(1)(1)1(nixabaxkjnijjijiiiki??????????????????(8)对(7)或(8)给定一组初值TnxxxX),,()0()0(2)0(1)0(??后,经反复迭代可得到一向量序列TknkkxxX),()()(1)(??,如果X(k)收敛于TnxxxX),,(**2*1*??,则),,2,1(*nixi??就是方程组(6)的解。这一方法称为雅克比(Jacobi)迭代法或简单迭代法,(7)或(8)称为Jacobi迭代格式。下面介绍迭代格式的矩阵表示:设D=diag(a11,a22,…,ann),将AX=b改写为:信息系统开发语言(课程设计)AX=(D–(D-A))x=bDX=(D-A)x+bX=(I–D-1A)x+D-1b记B=I–D-1AF=D-1b则迭代格式的向量表示为FBXXkk???)()1(B称为雅克比迭代矩阵。,这是总体思路。(1)计算迭代矩阵:将系数矩阵的所有值分别处以各自所在行的主对角线值,然后将主对角线赋值为