导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法.doc

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偶数时，
令 ，
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则〔〕．
所以 当时，单调递增，
又，
因此 恒成立，
所以 成立．
当为奇数时，
要证，由于，所以只需证，
令 ，
则 〔〕，
所以 当时，单调递增，又，
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明．
令 ，，
则 ，
当时，，故在上单调递增，
因此 当时，，即成立．
故 当时，有．
即 ．
【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进展“常规处理〞，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断．
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【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式
【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断
的正负漏掉符号．
【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而表达导数的工具性．
6．【2007年山东理】 〔22〕〔本小题总分值14分〕
设函数，其中．
〔I〕当时，判断函数在定义域上的单调性；
〔II〕求函数的极值点；
〔III〕证明对任意的正整数，不等式都成立．
【解】〔Ⅰ〕由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
当时，，即在上恒成立，
当时，，
当时，函数在定义域上单调递增
〔Ⅱ〕①由〔Ⅰ〕得：当时，函数无极值点
②时，有两个一样的解，
时，， 时，，
时，函数在上无极值点
③当时，有两个不同解，，，
时，，，
即，
时，，随的变化情况如下表：
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极小值
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，， ，
此时，，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点
；
综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点
〔Ⅲ〕当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又时，恒有，即恒成立
故当时，有．
对任意正整数取，则有
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所以结论成立．
7．【2008年湖南理】 21．〔本小题总分值13分〕
函数．
〔I〕求函数的单调区间；
〔Ⅱ〕假设不等式对任意的都成立〔其中是自然对数的底数〕．
求的最大值．
解： 〔Ⅰ〕函数的定义域是，
设，则
令则
当时， 在上为增函数，
当x＞0