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函数单调性的判定方法
.判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单
调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。假设对任何x
对数函数
y log ax
(a 0,a 1)
当a 1时，y在(0,)上是增函数；
当0 a 1时，y在(0,)上是减函数。
Iyj
■ ■ ■ ■
对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
⑴.f (x)与f (x) +C单调性一样。〔C为常数〕
⑵.当k 0时，f (x)与kf(x)具有一样的单调性；当k 0时，f (x)与kf (x)具有相 反的单调性。
⑶.当f(x)恒不等于零时，f(x)与,具有相反的单调性。 f(x)
⑷.当f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数时，那么f (x) + g(x)在D上是增〔减〕 函
数。
⑸.当f (x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都恒大于 0时，f (x) g(x)在D上 是增〔减〕函数；当f (x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都包小于0时，f (x) g(x) 在D上是减〔增〕函数。
⑹.设y f(x),x D为严格增〔减〕函数，那么f必有反函数f 1,且f 1在其定义 域f(D)上也是严格增〔减〕函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下
几个例子:
例 f(x) x x3 log2x3 2x 1(x2 1) 5 的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域内 x,x3,log2x3均为增函数，因为2x1 0 , x2 1 0由性质⑸可得2x1(x2 1)也是增函 数；由单调函数的性质⑷知x x3 log 2 x为增函数，再由性质⑴知函数 f(x) x x3 log 2 x3 2x1(x2 1)+5在(0,)为单调递增函数。
(x) 上刍(a b 0),判断f(x)在其定义域上的单调性。
x b
解:函数f(x) 人上的定义域为(，b) ( b,).
x b
先判断f(x)在(b,)内的单调性，由题可把f(x) 土/转化为f(x) 12上，又 x bx b
a b 0故a b 0由性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得■a-b为减函数；再
x bx b
由性质⑴可得f(x) 1 "b■在(b,)内是减函数。 x b
同理可判断“乂)在(，b)内也是减函数。故函数f(x) Ja在(，b) ( b,) x b
内是减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先
把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四那么混合运算的形式，然后利用函数单
调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四那么混合运算形式就不能采 用这种方法。
图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，假设函数
f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升那么函数f(x)在区间I上是增函数；假设
函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降那么函数 f(x)在区间I上是减函数。、 -1是定义在闭区间卜5,5］上的函数y f(x)的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数y f(x)的单调区间有［-5,-2］，［-2,1〕，［1,3〕，［3,5］.其 中函数y f(x)在区间［-5,-2］，［1,3］上的图像是从左往右逐渐下降的，那么函数 y f(x)在区间［-5,-2］，［1,3］为减函数；函数y f(x)在区间［-2,1〕，［3,5］上的图像 是从往右逐渐上升的，那么函数
y f(x)在区间［-2,1〕，［3,5］上是增函数。
(x) x 1; g(x) 2x; h(x) 2x x 1在［-3,3］
上的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x) f(x) g(x),作图一般步骤为列表、描点、作 图。首先作出f(x) x 1和g(x)2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致
作出h(x) 2x x 1的图像，最后利用图像判断函数 h(x) 2x x 1的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数 f(x) x 1在闭区间［-3,3］
上是单调增函数；g(x) 2x在闭区间［-3,3］上是单调增函数；利用物理上波的叠加
可以直接大致作出h(x) 2x x 1在闭区间［-3,3］上图像，即h(x) 2x x 1在闭
区间［-3,3］上是单调增函数。事实上此题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断 其单调性。
用函数