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正弦定理与余弦定理
一、三角形中的各种关系
设的三边分别是，：
1、三内角关系
三角形中三内角之和为〔三角形内角和定理〕，即，；
2、边与边的关系
三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两一〔平面几何法〕
在中 ，作，垂足为
那么在中，；

在中，由勾股定理有
于是有
同理可证：，.
法二〔平面向量法〕
〔Ⅱ〕余弦定理的意义：
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类三角形两边及夹角求第三边或者是三个边求角的问题，假设对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，那么使用起来更为方便、灵活。
〔Ⅲ〕余弦定理适用的范围：
〔ⅰ〕三角形的三条边，可求出其三个内角；
〔ⅱ〕三角形的两条边及它们之间的夹角，可求出其第三条边；
〔ⅲ〕三角形的两条边及其中一条边所对应的角，可求出其另两个角及第三条边.
注2：余弦定理的变式：；；;
注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；
注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.
例1. 在中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.
，在四边形ABCD中，,，
，,求的长.
例3. 在中，，那么()
A. B. C. D.
〔3〕面积公式：
〔i〕常规方法：；
〔ii〕三角函数法：；
〔iii〕海伦公式：.
这里，为边的高线；为周长的一半，即；为内切圆的半径.
例1. 在中，假设三边为连续的正整数，且最大角为钝角.
〔1〕求该最大角；
〔2〕求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.〔参考数据：〕
例2. 在中，内角对应的边分别是，.
(1)假设，且为钝角，求内角A与C的大小；
〔2〕假设，求面积的最大值.
二、关于三角形内角的常用三角恒等式
由三角形内角和定理：，有
由此可得到：,；
又，
于是得到：，.
三、三角形的度量问题：即所谓的求边、角、周长、面积、圆半径等问题
〔1〕求角角边的适用定理是正弦定理；
〔2〕求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理；
〔3〕求边边边、边角边的适用定理是余弦定理.
注：在解决“边边角〞 类型的题目时，假设利用正弦定理求角，那么应判定三角形的个数：
假定：，
①假设，那么有一解；
②假设，那么当时，有两解；当时，有一解；当时，无解；
假定：，
①假设，那么有一解；
②，那么无解.
四、三角形形状的判定方法
〔1〕角的判定；
〔2〕边的判定；
〔3〕综合判定；
〔4〕余弦定理判定.
注：余弦定理判定法：假设是的最大边，那么：
①是锐角三角形；
②是钝角三角形；
③是直角三角形.
注：关于锐角三角形有以下等价结论：
三角形是锐角三角形三内角都是锐角任意两角和都是钝角三内角的余弦值均为正值任意两条边的平方和都大于第三边的平方.
五、高考真题整理
，假设，，，那么〔〕
A. B. C. D.
，那么它的顶角的余弦值是〔〕
A. B. C. D.
，角所对的边分别为，假设，那么_____.
4、在中，，边上的高等于，那么_____.
5、的内角，，的对边分别为，，. 假设，，，那么_____.
6、的三边长分别为，，，那么该三角形的外接圆半径等于_____.
7、在△ABC中，B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
8、在中，内角对应的边分别为，.
〔1〕假设的面积等于，求；
〔2〕假设，求的面积.
9、设函数〔〕.
〔1〕求函数的单调区间；
〔2〕在锐角中，角，，所对应的边分别为，，. 假设，，求面积的最大值.
10、向量，，函数.
〔1〕试求函数的单调递增区间；
〔2〕假设的三个内角，，所对应的边分别为，，，内角满足，且，试求面积的最大值.
11、在中，角，，所对应的边分别为，，，且，，，.
〔1〕求；
〔2〕求的周长.
12、设三个内角，，所对的边分别为，，. ，.
求角的大小；
N
P
D
C
B
A
M
如以下图，在的外角内取一点，使得. 过点分别作直线、的垂线，垂足分别是、. 设，