方阵的行列式与逆矩阵课件.ppt

关于方阵的行列式与逆矩阵
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一、方阵的行列式
定义
由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的
行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或
运算性质
为 阶方阵, 为数。
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一、方阵的行列式
定义
由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的
行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或
运算性质
为 阶方阵, 为数。
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二、逆矩阵
在数的运算中，当数 时，有
其中 为 的倒数，在矩阵的乘法运算中，也有
类似情形(单位阵 相当于数的乘法运算中的1)。
定义8
对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ,使得
则称 为可逆矩阵， 是 的逆方阵。
注:
(1) 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。
(2) 可逆矩阵必为方阵。
(3) 若 是 的逆矩阵,则 也是 的逆矩阵。
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定理1：
，
证：
若
有两个逆方阵
和
，即
则
即逆方阵唯一。
注：
(1) 的逆方阵记为 .
(2)
定理2:
若方阵
可逆，则其行列式
证：
故
,
若方阵 可逆，则其逆矩阵必唯一。
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定义9
设
是行列式
中元素
的代数
余子式,称方阵
注:
为方阵 的伴随方阵。
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因为
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定理3:
定理3提供了一种利用伴随方阵求逆方阵的方法，
例11
判断下列
，
是否可逆。若可逆，求其逆，
若 ，则 可逆，且 ，其中
为 的伴随方阵。
证：
由(8) 知
由逆方阵定义，有
由定理2，定理3， 可逆的充分必要条件是
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中各元素的代数余子式为
于是伴随阵
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用此法求逆方阵时，计算量较大。一般地，
注:
方阵的阶数
时，可以用此法。
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
方阵。
当
时，称
为非奇异方阵。否则称
为奇异
推论:
证明：
易知， 可逆的充分必要条件是 非奇异。
对 阶方阵
则 可逆,且
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定理4
证明：
只证明
(4)
此推论简化了判定方阵 是否可逆的条件。
设 皆为 阶可逆方阵，则
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例12
对于 阶可逆方阵 定义
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例13
解:
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于是
例14
例15
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三、 小结
(2) 逆矩阵的概念及运算性质.
(1) 方阵行列式的概念及运算性质.
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思考题
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感谢大家观看
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