向量法证明三点共线的又一方法及应用.doc

向量法证明三点共线的又一方法及应用湖南省桑植县第一中学罗生军王乐龙平面向量既具有数量特征,又具有图形特征, 学习向量的应用,可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题,有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题已知 OB λ OA μ OC ? ????? ????????,其中 1λμ? ?. 求证: A 、B 、C 三点共线思路:通过向量共线(如 AB k AC ????? ????) 得三点共线. 证明:如图,由1λμ? ?得1λμ? ?,则(1 ) OB λ OA μ OC μ OA μ OC ? ???????? ?????????????????( ) OB OA μ OC OA ? ??????????????????? AB μ AC ????? ?????A 、B 、C 三点共线. 思考: 1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性; 2. 反之也成立(证明略) :若 A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ,满足 OB λ OA μ OC ? ????? ????????,且1λμ? ?. 揭示了三点贡献的又一个性质; 3. 特别地,12 λμ? ?时,1 ( ) 2 OB OA OC ? ????? ????????,点B 为 AC ????的中点, 揭示了 OAC 中线 OB 的一个向量公式,应用广泛. 应用举例例1 如图,平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 13 BN BD ?. 利用向量法证明: M 、N 、C 三点共线. 思路分析: 选择点 B , 只须证明 BN λ BM μ BC ? ????? ?????????,且1λμ? ?. 证明: 由已知 BD BA BC ? ?????????????, 又点 N 在 BD 上,且 13 BN BD ?,得 1 1 1 1 ( ) 3 3 3 3 BN BD BA BC BA BC ? ???????? ????????????????????又点 M 是 AB 的中点, 12 BM BA ? ?????? ????,即2 BA BM ????? ????? 2 1 3 3 BN BM BC ? ?????? ????????? A B CO DAB CM N 而 2 1 1 3 3 ? ??M 、N 、C 三点共线. 点评:证明过程比证明 MN mMC ?????? ?????简洁. 例2 如图,平行四边形 OACB 中,13 BD BC ?, OD 与 AB 相交于 E ,求证: . 14 BE BA ?. 思路分析:可以借助向量知识