高中数学竞赛辅导(共线或共点).doc

1 高中数学竞赛辅导(证明点共线或线共点) 1 基础知识证明三点共线的常见方法: 利用平角的意义; 利用平行或直角; 利用梅内劳斯的逆定理; 利用塞瓦定理的逆定理;利用同一法;面积为零等。证明三线共点的常见方法:利用塞瓦定理的逆定理;利用直线都经过特殊的点,利用直线都是某个三角形的特殊线;利用三点共线等。 1 .在△ ABC 中, I 为内心, BE⊥ AI, 垂足为 E, AD⊥ BI ,垂足为 D ,内切圆 I切 AC于S, 切 BC 于点 T ,求证: S、D、E、T 四点共线。 2. 设不过 ABCD 顶点的任一直线分别与直线 AB、 BC、 CD、 DA 交于 E、F、G、H,且⊙ EFC 与⊙ GHC 的另一交点为 Q ,求证: A、C、Q 三点共线。 3 .在△ ABC 中, ∠ CAB= ∠ CBA , AD、 BE、 CF 是它的三条高, AP、 BQ 是两条角平分线, I、 O 分别是它的内心和外心,证明:若点 D、I、E 三点共线,则 P、O、Q 三点共线。 2 4. 四边形 ABCD 的内接圆, 其边 AB与 DC 的延长线交于点 P, AD与 BC 的延长线交于点 Q, 由Q 作该圆的两条切线 QE和 QF ,切点分别为 E、F ,证明: P、E、F 三点共线。 △ ABC 的内点, 直线 L, m,n 过点 P, 分别垂直于 AP、 BP、 CP,若L交 BC于Q, m交 AC于R,n交 AB于S ,证明: Q、R、S 共线。 6 .四边形 BCEF 内接于⊙O ,其边 CE与 BF 的延长线交于点 A ,由 A作⊙O 的两条切线 AP 与 AQ ,切点分别为 P、Q, BE与 CF 的交点为 H ,求证: P、H、Q 三点共线。 3 7. 已知 AB是⊙O 的直径,弦 CD⊥ AB于L,点M和N 分别在线段 LB和 LA上,且 LM: MB=LN : NA ,射线 CM、 CN交⊙O 于点 E、F ,求证: AE、 BF、 OD 三线共点。 8 .在锐角△ ABC 中, AD⊥ BV于D ,以 AD 为直径作圆 S A,S A 分别交 AB、 AC 于点 M、N, 过A 作直线 Al 垂直于 MN ,类似地作出, B C l l ,证明: Al ,, B C l l 三线共点。 9. 四边形 ABCD 内接于⊙O, 对角线 AC与 BD 交于 P,设,