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高等数学上复习课件
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定理
函数的极限
的充分必要条件是
例如，
于是
不存在.
因
第1页，二大题的1小题
课本19页
小 结
极限不求函数
断方程
有几个实根及其所在的区间.
的导数，判
解
在 内可导，
是多项式函数，
故
在区间
,
上满足罗尔定理的条件.
因此在区间
内至少存在一点
使得
即
是
的一个实根.
内至少存在一点 ,
在区间
使得
即
是
的一个实根.
又
为二次方程,
最多有两个实根,
恰有两个实根，
拉格朗日中值定理及其应用
拉格朗日中值定理
(1)
(2)
使得
即
微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
例3. 证明不等式
证: 设
中值定理条件,
即
因为
故
因此应有
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第4页，五大题
证明：令
，显然 在 上满足拉格朗日中值
定理的条件，故
即
下面要证
在区间 单减
当 时
故
即
第8页，五大题
定理1
洛必达法则

定理1
单调增加;
单调减少.
函数的单调性与曲线的凹凸性
，利用单调性证明不等式
第13页，二大题3小题
定理2
二阶导数,
凹
(凸)
函数的单调性与曲线的凹凸性
，求拐点
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注意
1) 若在某点二阶导数为 0 ,
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法:
或不存在,
但
在 两侧异号,
则点
是曲线
的一个拐点.
则曲线的凹凸性不变 .
在其两侧二阶导数不变号,
函数的单调性与曲线的凹凸性
若曲线
在点
连续,
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点
定理2(第一充分条件)
则
为极大值
则
不是极值.
(极小值);
函数的极值与最大值最大值
，
定理3(第二充分条件)
证
极大值
(极小值).
极值的二阶充分条件
因此,
当
充分小时,
由极限的保号性
可见,
与
异号.
所以,
第一充分条件
对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.
自己证极小值情形.
函数的极值与最大值最大值
第13页，二大题1小题
第9页，二大题3小题
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(1)
其中最大(小)者
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小)
将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的点
区间端点的函数
就是 f (x) 在闭
(即为可能极值点)处的函数值和
值 f (a), f (b)比较,
区间[a, b]上的最大(小)值.
二、最大值最小值问题
函数的极值与最值
值的方法:
第1页，一大题4小题
求函数 在 上的最大
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例
解
因
驻点:
比较得:
因
最大值为
最小值为
值最小值.
函数的极值与最值
*
定义1
例
1. 原函数
则称
或
一个原函数.
或由
知
是
原函数.
也是
的原函数,
其中
为任意常数.
不定积分的概念与性质
如果在区间I上,对于可导函数
第1页，一大题4小题
积分变量
积分常数
被积函数
定义2
被积表达式
2. 不定积分
不定积分.
(1) 定义
全部原函数的一般表达式
称为函数f (x)的
记为
不定积分的概念与性质
积分号
*
由不定积分的定义
结论
微分运算与求不定积分的运算是
如
(1)
或
或
互逆的.
二、不定积分的性质
不定积分的概念与性质
第6页，二大题5小题
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则
求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法
(注意常见的换元积分类型)
(代换: )
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