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矩阵的同时相似上三角化问题
张永伟（）
数理基础科学班
指导教师：王也洲、何军华
【摘要】本文讨论了阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester不等矩阵的同时相似上三角化问题
张永伟（）
数理基础科学班
指导教师：王也洲、何军华
【摘要】本文讨论了阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester不等式
一．引言
文【1】告诉我们：两个可交换的阶矩阵在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若能相似对角化，那么一定能同时相似对角化。但是对于一般的阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan矩阵相似，也就是说，任意阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论阶矩阵同时相似上三角化的问题。
二．正文
：对于阶矩阵，用表示矩阵的秩。
：若能同时相似上三角化，那么有公共的特征向量。
证明：因为可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵，使得
且。
设，则，。
所以有公共的特征向量。■
因此能同时相似上三角化的必要条件是有相同的特征向量。
：若能同时相似上三角化，那么为幂零矩阵。
证明：,
。
又因为
，
所以，即为幂零矩阵。■
：设为2阶矩阵，那么
(1)若为幂零矩阵，则；
(2)当且仅当有公共的特征向量。
证明：因为或时，结论显然成立，所以不妨假定，当为幂零矩阵时，易知的特征值一定为，于是存在可逆矩阵使得
，
所以。
又因为
，
当时，有，从而方程有非零解，显
然是的公共特征向量；
当时，根据Sylvester不等式，知
。
若，显然有公共特征向量；若 ，则，此时必有，于是存在可逆矩阵使得
或，
其中。
设，则当时，，所以或，显然，此时有公共特征向量；同理当时，也有公共特征向量。
以上我们证明了二阶矩阵有公共特征向量是的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。
不妨设是的公共特征向量，将扩充为二维空间的一组基，令,显然为上三角矩阵。当有公共特征向量时，则有非零解，所以。■
下面讨论更为一般的情形。
：假定为阶矩阵且，若，则有公共特征向量。
证明：因为，由Sylvester不等式得到
。
若，则有公共特征向量；若，则有，于是，又因为,所以，此时与矛盾。■
：满足