数学余弦定理.docx

B
解题后的思索：已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理，其结果可能有一解、两解或无解。
例2：在△ABC中，已知b=14,A=30o,B=120o，求a，c及△ABC的面积S。 思路分析：已知两角事实上第三个角也是已知的，故用正弦定理可以很便利的求出其他边的值。
解答过程：依正弦定理：abbsinA＝，∴a=，代入已知条件，得sinAsinBsinB
a=14sin30°3 =sin120°
3∵C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°，又bc＝， sinBsinC
\c=bsinC14sin30°C＝A，△ABC为等腰三角形，所以a=c==sinBsin120°3










11∴SDABC=absinC=´。 ´14sin30°=2233
解题后的思索：三角形的面积公式
111（1）S△ABC=aha=bhb=chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）。 22
2111（2）S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB。 222
（3）S△ABC=2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）
（4）S=11aha=absinC=r×p=22p(p-a)(p-b)(p-c)。其中r为三角形的内切圆半径，p为三角形周长的一半。
cosA＝a·cosB成立，试推断这个三角形的形态。 例3：在△ABC中，若b·
思路分析：条件中既有边又有角，统一条件是首要任务。
cosA＝2RsinA·cosB，sinB·cosA＝解答过程：由正弦定理，得：2RsinB·
sinA·cosB，∴sinAsinB=，即tanA=tanB，依据三角形内角和定理，可知A、BcosAcosB
必都为锐角。所以A＝B，即△ABC是等腰三角形。
解题后的思索：由已知条件确定三角形的形态，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般状况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。










a2-b2sin(A-B)=例4：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明：。 2csinC
思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外△ABC中，内角和为180°。
abc===2R得： sinAsinBsinC
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC。
1-cos2A1-cos2B-2222a-bsinA-sinBcos2B-cos2A\= ==c2sin2Csin2C2sin2C
coséë(B+A)+(B-A)ùû-coséë(B+A)-(B-A)ùû解答过程：由正弦定理=2sin2C
-2sin(B+A)sin(B-A)-sinCsin(B-A)sin(A-B)===。 222sinCsinCsinC
a2-b2sin(A-B)=所以，。 c2sinC
解题后的思索：由于不等式两边一边是代数式，一边是三角式，故通过正弦定理来把边全化为角，把证明转化为三角恒等变形的问题。