大摆角下单摆周期变化的实验分析.doc

大摆角下单摆周期变化的实验分析
摘要:详细讨论了单摆运动情况,指出柔性摆在大摆角的情况下运动情况,并与小摆角的情况做了对比,从而对单摆的运动规律有了一个更加完美的认识。
关键词: 单摆,大摆角,单摆周期
单摆的运动方程
单摆就是挂在长为λ的一根质量可以忽略的杆和弦线下端的一个质点m,它的上端在支点上可以自由的转动,整个摆在竖直平面内作运动,如图1所示。(忽略空气阻力与摩擦力)设任意时刻t,弦与竖直线成θ角,质点对它的平衡位置的弧位移S=λθ,所受合力的切向分量为其中负号表示这个分力的指向恒与弧位移的指向相反。根据牛顿第二定律,可以建立单摆运动的微分方程是
(1)
在θ很小的情况下,(如θ不大于5°) sinθ近似等于θ(以弧度为单位),于是方程(1)可化为
这是简谐振动方程。对方程(2)求解,得单摆的振动周期为
以上结果是一般教科书中对单摆的解。但是,必须注意到只有在振幅很小的情况下,单摆的运动才能近似看作是简谐振动,一般情况下单摆远远比上述结果复杂。
单摆的一般运动规律
在方程(1)中,令v=dθ/dt,于是(1)式化为等价的方程组是:
dθ/dt=v,
dv/dt=-g/λsinθ,
将方程组中第二式乘以vdt,第一式乘以sinθdt,然后相加,得vdv+g/λ·sinθdθ=0,即
由此得出的一个首次积分是(其中C是积分常数,称C为“约化的总能量”,C=E/mλ,E为总能量,m是质量,λ是摆长),于是
对于柔线摆(即弦线构成的摆),由于弦线只产生张力,二不产生支持力。设平衡位置(θ=0)为时能零点这时摆绕轴转动的最小能量为E=5/2·mgλ,即方程中的C≥5g/2λ时,角度θ在全部运动时间内是单调增加或单调减小的,摆将绕轴转动。如果C<5g/2λ,将不能达到最高点,由于其动能减小(而弦线又不能提供支持力),已经不能维持圆周运动了,摆会“落下来”。当g/λ<C<5g/2λ时,单摆的运动情况就比较复杂,但是它绝不会做来回往复的摆动,因而已不能称其为“摆”,当C≤g/λ时,摆作来回往复摆动,摆动的幅度为当C=0,对应于平衡位置θ=0(稳定平衡)。对于C<0,运动不可能发生。
1 实验装置和测量方法
实验装置
游标卡尺、米尺、电子秒表、小球、量角器、细线、单摆实验装置(如图所示)
测量方法
实验步骤:(1)用米尺测量摆线长度l,用游标卡尺测小球直径d,测3次求平均值,摆长L=l+d/2。
(2)将量角器固定于悬点,将小球从平衡位置拉开到要测的角度,然后分手让小球自由摆动。
(3)用电子秒表计时,测30周期的时间t,周期T=t/30,测5次。
注意事项:;
;
,不能松弛。
2 实验结果示例
小球的直径d= 摆线长l=
表1 摆角与周期的数据记录
摆角
周期
5°
10°
15°
20°
25°
T1





T2





T3





T4