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数学建模——公司投资问题
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公司最优投资方案的数学模型
摘 要
本文解决的是某公司在未来5年内最优的投资方案问题，通过对该公司财务分析人员提供的数据（附录一到四）的统计分析，我们建立了三个最优化模型。
对于问，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
我们选择项目一历年的到期利润率利用Excel软件对其分析，见下图。
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可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目的到期利润率波动都比较大。而且经过我们统计分析，这8个项目不管是独立投资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。
所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。通过对每组数据，使用matlab构造解析表达式，再进行预测(相关程序见附录)。
在本题中，我们将年份即从1986年开始到2005年之间的时间作为自变量，设为；到期利润率作为因变量，设为。其中时间，从1986年开始，即设为单位1，以此类推。
预测结果
通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六）：
表一：各投资项目独立投资时03—05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
03年








04年








05年





-


7
表二：一些同时投资的项目04、05年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值）
项目
同时投资3、4
同时投资5、6
同时投资5、6、8
3
4
5
6
5
6
8
04年





-
-
05年





-
-

问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风险投资。这是线性规划中的最优解问题。针对问题一，我们建立了模型一。
模型一的建立
确定目标函数
该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润。为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。
该公司第一年年初只能对前六个项目（项目1，项目2 项目6）进行投资，且6个投资项目预计到期利润率都大于0（见附录一），所以第一年20亿全用于投资。当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）：
确定约束条件
（1）对于这8个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限（见附录一），即：
（2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金利润和），即：
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其中，第一年的总投资金额不应大于20亿，则为：
注：=20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额
（3）对于项目1，2，每年初投资，当年年末回收本利；对于项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；对于项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利；则：
特别地，
（4）对于项目3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则：
，，
（5）对于项目5，6每年年初投资，第三年末回收本利，则：
，，
综合（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得到，问题一的约束条件。
综上所述，得到问题一的单目标最优化模型

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模型一的求解
根据上述的目标函数，我们利用Lingo编程（相关程序见附录八），求出了该公司5年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元）），具体数据见下表：
表三：5年内最佳的投资方案（单位：亿元）
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
第1年