排队论之简单排队系统(共30页).doc

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无限源的简单排队系统
所谓n速率为每12分钟1人到达，服务时间是指数型的且服务速率是每8分钟服务1个人，和分别是多少？
解：因为（人／分），（人／分），我们得到：
，
因此，系统中顾客的平均个数为2，顾客在系统中平均花费的时间是24分钟。
现假设到达速率提高20％到，重新计算和得到
，
因此，到达速率20％的增加导致系统中平均顾客数增加了1倍。
事实上，从式（5-52）和式（5-53）可以清楚看到，当趋于1时，的一个微小的增加都会导致和大的增加。
战时，集团军通信团的通信设备以指数速率每小时6台损坏，有一个维修技师，其维修速率是指数速率每小时8台，设备损坏而没有得到及时维修造成的损失是每台设备每小时100次通话，问：由于损坏的设备引起的平均通话损失率是多少？
解：该问题是一个排队模型，其中，。则
平均通话损失率＝每台设备每小时100次损坏设备的平均数
而损坏设备的平均数就是
因此，平均通话损失率等于每小时300次。
2. 排队系统
排队系统是一种多服务等待制系统,指的是：有个服务台独立地并行服务。当顾客到达时，若有空闲服务台便立刻接受服务，若没有空闲的服务台，则排队等待，直到有空闲的服务台时再接受服务。假定顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数
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的负指数分布，每个服务台服务时间独立、服从相同参数的负指数分布，系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的。
设表示系统中的顾客数，则是无限状态上的生灭过程，其参数为
（5-59）
其分布的平稳状态分布记为，则与无限源生灭过程分析类似，考虑有个服务台，对任一状态，在统计平衡下，其平衡方程为：
状态 离开速率＝进入速率



。。。


。。。

。。。
若记，，则当时，解上述平衡方程组，可得：
（5-60）
再由概率分布的要求：，解得上式中的。
由于系统中有个服务台，所以顾客到达时需要等待的概率为
（5-61）
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其中，。
式（5-61）称为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。
在统计平衡下，等待队长显然有分布
（5-62）
所以当时，有
（5-63）
又令表示系统平衡时，正在被服务的顾客数，则
（5-64）
所以正在接受服务的顾客的平均数为：

（5-65）
上式表明，平均在忙的服务台的个数与服务台个数无关。
平均队长为
（5-66）
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可以验证，时，即化为系统结果（讨论略），时即化为的有关结果。
对多服务台系统，Little’s公式依然成立，即有：
平均等待时间为
（5-67）
而平均逗留时间为
（5-68）
和类似，若令表示平衡下相继离去的间隔时间，可以证明其分布函数为
这表明在统计平衡下相继离去的间隔时间服从参数的负指数分布。因此，统计平衡下排队系统的输出过程与到达过程相同。
工件按Poisson流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务（加工）所需时间服从负指数分布，平均服务