青朱出入图证明.docx

三角形全等。〔SAS定理〕
。
。
〔据协助定理3〕。
证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。










其证明如下：
△ABC为始终角三角形，其直角为CAB。
、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。
6.∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。{青朱出入图证明}.
，所以△ABD必需相等于△FBC。
，所以四方形BDLK必需二倍面积于△ABD。
、A和G在同始终线上，所以正方形BAGF必需二倍面积于△FBC。
= AB²。
，四边形CKLE必需有一样的面积ACIH = AC²。
，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC










，因此AB² + AC² = BC²。
此证明是于欧几里得《几何原本》，由于这个定理的证明依靠于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，许多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，始终到十九世纪尝试否认第五公理的非欧几何出现。
《几何原本》〔英文〕，欧几里德著，2006年12月19日存取〕 二、图形重新排列证法
此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为(a + b)2。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为a2 + b2，右方余下面积为c2，两者相等。证毕。
三、利用相像三角形的证法
设ABC为始终角三角形, 直角C〔看附图〕. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的穿插点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相像，因为在两个三角形中都有一个直角〔这又是由于“高”的定义〕，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH
和三角形ABC也是相像的。这些相像关系衍生出以下的比率关系：
因为{青朱出入图证明}.
所以
可以写成










综合这两个方程式，我们得到
换句话说:
四、加菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在漫步，观赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发觉旁边的一个
小石凳上，有