第7章 第7讲.doc

第7章 第7讲.doc专业文档珍贵文档第七章第七讲 A组基础巩固一、选择题 1. (2015 · 山西临汾一模) 如图所示,点P 在正方形 ABCD 所在平面外, PA ⊥平面 ABCD , PA = AB ,则 PB 与 AC 所成的角是导学号 25401791 () A. 90°B. 60° C. 45°D. 30° [ 答案]B[ 解析] 将其还原成正方体 ABCD - PQRS , 显然 PB ∥ SC ,△ ACS 为正三角形, ∴∠ ACS = 60°.2 .若正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的所有棱长都相等, D是A 1C 1 的中点,则直线 AD 与平面 B 1 DC 所成角的正弦值为导学号 25401792 () A. 35 B. 45 C. 34 D. 55 [ 答案]B[ 解析] 间接法: 由正三棱柱的所有棱长都相等, 依据题设条件, 可知 B 1D⊥平面 ACD , ∴B 1D⊥ DC ,故△B 1 DC 为直角三角形, 设棱长为 1 ,则有 AD = 52 ,B 1D= 32 , DC = 52 , ∴S△B 1 DC = 12 × 32 × 52 = 15 8 .设A 到平面 B 1 DC 的距离为 h ,则有 VA -B 1 DC = VB 1- ADC , ∴ 13 ×h×S△B 1 DC = 13 ×B 1D×S △ ADC . ∴ 13 ×h× 15 8 = 13 × 32 × 12 ,∴h= 25 . 专业文档珍贵文档设直线 AD 与平面 B 1 DC 所成的角为θ,则 sin θ= h AD = 45 . 向量法:如图,取 AC 的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系. 设各棱长为 2, 则有 A (0 ,- 1,0) ,D (0,0,2) ,C (0,1,0) ,B 1(3, 0,2) . 设n=(x,y,z) 为平面 B 1 CD 的法向量, 则有 n· CD →=0, n· CB 1→=0 ?-y+2z=0, 3x-y+2z=0 ?n= (0,2,1) . ∴ sin 〈 AD →,n 〉= AD →·n| AD →|·|n| = 45 .3. (2015 · 皖南八校联考) 四棱锥 V- ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 其他四个侧面是腰长为 3 的等腰三角形,则二面角 V- AB -C 的余弦值的大小为导学号 25401793 () A. 23 B. 24 C. 73 D. 223 [ 答案]B[ 解析] 如图所示,取 AB 中点 E ,过 V 作底面的垂线,垂足为 O ,连接 OE ,根据题意可知, ∠ VEO 是二面角 V- AB -C 的平面角,因为 OE =1, VE =3 2-1=22 ,所以 cos ∠ VEO = OE VE = 122 = 24 ,故选 B. 4. (2015 · 沈阳模拟) 在棱长为 a 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中, M是 AA 1 的中点,则点 A 1 到平面 MBD 的距离是导学号 25401794 () A. 66 aB. 30 6 a 专业文档珍贵文档 C. 34 aD. 63 a [ 答案]A[ 解析]以A 为原点, AB 、 AD 、 AA 1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系;A 1 (0,0 ,a), M (0,0 , a2 ),B( a, 0,0) ,D (0, a, 0), BD →=(-a, a, 0), BM →=(- a,0, a2 ) 设平面 BDM 的法向量 n=(x,y,z) ,则- ax+ ay=0- ax+ a2 z=0 ,设 x=1,∴ x=1, y=1, z=2 ∴n= (1,1,2) . MA 1→= (0,0 , a2 ) ,则点 A 1 到平面 MBD 的距离 d= | a2 × 2|6 = 66 a ,故选 A. 5 .如图所示三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱长为 3 ,底面边长 A 1C 1=B 1C 1=1 ,且∠A 1C 1B 1 = 90°,D 点在棱 AA 1 上, AD =2 DA 1 ,点 P 在棱 C 1C 上,则 PD →· PB 1→的最小值为导学号 25401795 () A. 52 B .- 14 C. 14 D .- 52 [ 答案]B[ 解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D (1,0,2) ,B 1 (0,1,3) , 设P (0,0 ,z) ,则 PD →= (1,0,2 -z), PB 1→= (0,1,3 -z), 专业文档珍贵文档∴ PD →· PB 1→=0+0+ (2-z )(3 -z)=(z- 52 ) 2- 14 , 故当 z= 52 时, PD →· PB 1→取得最小值为- 14 . 6 .