等价无穷小代换求极限的方法推广_屈红萍.pdf

等价无穷小代换求极限的方法推广
因:由泰勒展开式有:
β
-
α
tgx-sinx= x+ x +οx - x- x +οx = lim =
′′′′α′β′
-
αα
x +οx
综上所述,故α-β~α′-β′


所以,但若将, sinx --cosx
tgx-sinx~ x x→ sinx~x 例3:求极限lim

x→ sin x
代换后则,就会不合理的舍弃了高
tgx~x x-x=
解:因为, ,
-cosx~ x sinx ~x sin x~x
阶无穷小量,因而导致错误的结论
x

sinx
(x →), 且 lim = ≠所以 lim
。
x→-cosx x→

正解: tgx-sinx sinx -cosx
lim =lim =lim
x→ x→ x→ x - x
x x cosx sinx --cosx
=lim =

sinx -cosx sin x x→ x
· · =
x cosx x 注:当α与β等价,则未必有α-β~α′-β′。如
所以对初学者来说,要注意一般只在以乘 tgx
例因为lim =所以tgx-sinx与x-x并不等
积等形式出现时,可用等价无穷小代换,但应 x→ sinx
用此方法须注意以下两点:()在自变量同一价。
变化过程中分子、分母都是无穷小量;()用等定理涸谧员淞客槐浠讨校α~
价无穷小代换时只能换掉整个分子或分母,而α′
α′,β~β′若α与β不等价,且lim =c≠-则α+β~
不能只换分子或分母的一部分。题目以和、差β′
形式出现时,则不能盲目代换。若要进行代换, α′+β′
它应满足以下定理即: 证明方法与定理嗨,此处从略。
定理(定理)说明,在求极限时,若某个
定理涸谧员淞客槐浠讨校α~
因子是两个无穷小之差(或和)时,只要这两个
α
α′,β~β′若lim =c≠则α-β~ α′-β′
β无穷小符合定理(定理)的条件,这个因子就
α可以用相应的等价无穷小之差(或和)代换。
证明:因为lim =c≠
∞
β若所求极限是“”型和含变上限积分时,
α
- 我们一般用洛比达法则求解。但在用此方法求
α-ββ
()当c≠0时,lim =lim = 解比较复杂的函数时,因须多次求导,计算繁
α′-β′α′β′
- 琐且易出错。在教学中我们通过总结研究后发
ββ
现此类型的求极限问题,当满足一定的条件
α
- 时,可以根据以下定理来求解
β c- 。
lim = = 定理:在自变量同一变化过程中,
α′αβ′·c- α、α′、
-
αββ
β、β′均为无穷小量,若α~α′,β~β′且lim+α′β′
α
-
() 当时, α-βββ′β
c=0 lim =lim = A则lim+α′ lim+α A
α′-β′α′β′
- 证明:因为所以
ββα~α′ ln +α~α~α′~ln +
α′由此得ln+α~ln+α′
α
-
ββ 1
lim = lim