蒙日圆及其证明(共10页).doc

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蒙日圆及其证明
甘志国(已发表于 河北014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).
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图1
证明 如图2所示，设为椭圆(其左、右焦点分别是)上任意给定的点，，只要证明上异于的点都在椭圆的外部，即证：
图2
在直线上选取点，使，得≌，所以，还得
再过点作的平分线，易得，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.
引理2 过椭圆(其中心是点O，长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的任意切线的垂线，设垂足是H，则.
证明 如图3所示，设点分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上的切点，又设直线交于点.
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图3
由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得≌，所以点H是FB的中点，，所以.
引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.
证明 由余弦定理可证(这里略去过程).
引理4 设点是矩形所在平面上一点，则.
证明 如图4所示，设矩形的中心是点．
图4
由引理3，可得
即欲证成立．
注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．
定理1的证法3 ，.
，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是.
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图5
连结，作，，垂足为，由引理2得.
，得.
由Rt，得.
又作，，同理可得.
(1)若，得矩形，所以
(2)若，得
由，得，所以.
同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所以.
由(1),(2)得点P的轨迹方程是.
定理1的证法4 ，.
，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，两切点分别为.
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分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可