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复数的概念与运算.ppt


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文档列表 文档介绍
复数的概念与运算
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知识体系
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考纲解读
,理解复数相等的充要条件,了解复数的代数表示法及其几何意义.
、减运算的几应满足的条件,复数对应的点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部的取值.
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题型二 复数的运算
例2
计算:
(1) ; (2) .
(1)原式=i·(-2i)=-2i2=2.
(2)原式= =i+ =i+-i=0.
复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位“i”的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
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题型三 复数的相等的充要条件及应用
例3
已知关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有实数根,求锐角θ的值及实数根.
由题设解是有实根,设其实根为x0,代入方程,由复数相等的充要条件即可求解.
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设原方程的实根为x0,
则x02-(tanθ+i)x0-(2+i)=0,
即(x02-tanθx0-2)-(x0+1)i=0,
x02-tanθx0-2=0
x0+1=0,
求得x0=-1,tanθ=1,又θ∈(0, ),
所以θ= .
故θ= ,实根为-1.
由复数相等的充要条件得
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设z的共轭复数为 ,若z+ =4,z· =8,求 的值.
设z=x+yi(x、y∈R),则 =x-yi,
所以z+ =2x=4,所以x=2,
又z· =x2+y2=8,所以y=±2,所以z=2±2i,
所以 = = 或 ,即z=i或-i.
涉及复数方程问题一般转化为复数相等的充要条件问题求解.
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题型四 复数加法运算的几何意义及应用
例4
若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,求|z+2|的最大值和最小值.
在复平面内满足|z+2|+|z-2|=8的复数z对应的点的轨迹是以点(-2,0)和(2,0)为焦点,8为长轴长的椭圆.
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|z+2|表示椭圆上的点到焦点(-2,0)的距离.
椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值.
因此,当z=4时,|z+2|有最大值6;
当z=-4时 ,|z+2|有最小值2.
此题若令z=x+yi,问题的条件和结论都是较复杂的式子,、减法的几何意义去理解,则是一道简单的几何问题.
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若复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
(方法一)一般的,满足|z-z0|=r的复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
因为圆|z+2-2i|=1的圆心为C(-2,2),半径r=1,而|z-2-2i|表示圆上的点到定点A(2,2)的距离,故其最小值为|CA|-r=4-1=3.
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(方法二)因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4|
≥||z+2-2i|-4|=3,
故|z-2-2i|min=3.
(方法三)设z=x+yi(x,y∈R),
因此有|x+2+(i-2)i|=1,即(x+2)2+(y-2)2=1.
又|z-2-2i|=
=
= ,
而|x+2|= ≤1,即-3≤x≤-1,
所以当x=-1时,|z-2-2i|取得最小值3.
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方法一是一种常规方法,注意z对应的点在圆上这一约束条件;方法二是几何法,以数寻形,有明显的几何特征,再由形解数,实现数与形的互化;方法三利用的是复数模的运算性质,体现了解题的灵活性.
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在复数集C内解一元二次方程x2-4x+5=0.
由于Δ=b2-4ac=16-20=-4<0,
所以x= =2±i.
实数集扩充为复数集后,解决了实系数一元二次方程在实数集中无解的问题,即在复数集中,实系数的一元二次方程总有解

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  • 上传人卓小妹
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  • 时间2022-03-29
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