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第八章 曲线积分与曲面积分
二重积分：
定积分的积分区域：
三重积分：
曲线积分：
曲面积分：
曲线形构件的质量：
：
：
：
：
一、第一类曲线积分第八章 曲线积分与曲面积分
二重积分：
定积分的积分区域：
三重积分：
曲线积分：
曲面积分：
曲线形构件的质量：
：
：
：
：
一、第一类曲线积分的概念
曲线形构件的质量
柱面的面积：
柱面的面积：
方法：分割、近似、求和、取极限
：
：
：
：
柱面的面积：
注意：
1. 函数 在闭曲线 上对弧长的曲线积分记为 .
为 轴上的直线段时,曲线积
分 就相当于 上的定积分.
性质：
证
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
第一类曲线积分的计算法
注意:
特殊情形
例1. 计算
其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧.
解1：
0≤x≤2
y2=2x
0
2
2
y
x
解2：
0≤y≤2
0
2
2
y
x
例2. 计算
其中L: x2+y2=a2.
L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2
解：
解：
空间R3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t), ≤t≤

x
y
z
O
( < )
推广:
例4
解
例5
例6
二、第一类曲面积分的概念
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
方法：分割、近似、求和、取极限
第一类曲面积分的计算法
则
按照曲面的不同情况分为以下三种：
则
则
例7
解
解
依对称性知：
例10
例9
例11
例12
第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分。
三、第二类曲面积分的概念
性质
P(x,y)对坐标x的曲线积分
Q(x,y)对坐标y的曲线积分
也称为对坐标的曲线积分
二、第二类曲线积分的计算法
方法一、转化为定积分进行计算
特殊情形
解: (1)
方法二 、格林公式
条件： (1)D封闭区域(或L是封闭曲线)；
(2)一阶偏导数 在D内连续。
(3)L曲线方向为正方向。
（负方向时，需加上负号）
1. 利用二重积分计算曲线积分：
Green公式的应用
解
又：
解
上述方法称为“补边法”，——即将非封闭曲线补成闭曲线，可见利用Green公式所补边一般为坐标轴或平行于坐标轴的线段。可以简化计算。
例16
3. 计算平面面积
解：
方法三、曲线积分与路径无关
1、定理
注: 两条件缺一不可
有关定理的说明：
2、四个等价命题
与路径无关的四个等价命题
条件
等
价
命
题
例18
1、定向曲面概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
四、第二类曲面积分
曲面的分类:
;
.
典型双侧曲面
存在条件:
组合形式:
物理意义(流量或通量)
2、第二类曲面积分（有向曲面积分）
性质:
其中的符号当 取上侧时为 ，取下侧为 。
、分面投影法
3
解
4、高斯公式（有向曲面积分）
定理 设 是一空间有界闭区域，
其边界曲面 由有限块光滑或分
片光滑的曲面所组成，如果函数

在 上具有一阶连续偏导数，
那么
格林公式：
高斯公式：
解
(利用柱面坐标得)
使用Guass公式时应注意:
例21
例22
和三个坐标面围成第一卦限部分的立体的内侧。