一个足球队排名次的方法摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球队排名次的数学模型. 它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次. 文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序. 文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象. 文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动. 本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名. 1. 问题的提出与分析表1给出的是我国12支足球队在198 8一198 9年全国甲级队联赛中的成绩, 要求通过建立数学模型,对各队进行排名次. 按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序. 为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求: (l) 保序性;(2) 稳定性;(3) 能够处理不同场比赛的权重;(4) 能够判断成绩表的可约性;(5) 能够准确地进行补残;(6) 容忍不一致现象;(7) 对数据一可依赖程度给出较为精确的描述。可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映出来(见53假定 11) ,所以根据排名目的,我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求(1) 。也就是说,如果 a 比b 表现出色, a 的名次就应排在 b 比b 出色不能只由 a 对b 的这一场比赛所决定,必须参考 a ,b 相对于其他队的成绩,象a 平 c ,c 胜d ,d 平b 这组比赛对 a ,b 的相对表现是有影响的. 为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将 a ,b 连结起来的所有场比赛. 平c ,c 胜d ,d 平b ,a 平b . 在上述比赛中 a 表现应比 b 出色,但按积分法计算 a ,b 都积 a 平c ,c 胜d ,注平 b 这组比赛中所体现的 a ,b 实力对比情况考虑进去; 要求(2) 是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响. 这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提出的,如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化,那么排名就不令人信服;要求(3) 使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往往会有的队不幸遇到较强的队而输掉. 为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,要求(3) 是必须的. 但现行的排名制度大都满足不了要求(3) ,以致于许多时候“运气”对名次起了重要作用; 要求(4)-(7) 是为适应实际比赛中可能会出现的一些复杂情况而提出的. 首先是可能某两个队之间没有打比赛,我们称之为数据(成绩)残缺. 对于两队成绩残缺,只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力对比. 如果残缺元素过多,就有可能导致参赛队分成两组,组与组之间没有比赛,称这种情况为成绩表可约,(4) ,(5); 其次是前后比赛成绩矛盾,比如说 a 胜b ,b 胜c ,c 平a ,称这种情况为数据不一致. 如果不一致情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太低,(6) ,(7) 。本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求,下面将在 2中给出具体算法, 3中给出算法满足上述要求的解释和论证. 2. 模型设计及其算法一、基本假设和名词约定假设Ⅰ. 参赛各队存在客观的真实实力( 见名词约定 1). 这是任何一种排名算法的基础. 假设Ⅱ. 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布.(见名词约定 2) 这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性. 名词约定 1 2 ( , , , ) n w w w w ??为真实实力向量,如果 iw 的大小表现了 iT 的实力强弱。当 iw 的大小体现了 iT 在比赛中出色的程度时,称 w 为排名向量,由假设Ⅱ, 两者应是近似相同的,以后就把他们当成同一个。 iT 对 iT 这场比赛中体现出来的 iT 对 iT 的相对强弱程度为 iT 对 iT 的表面实力对比,一般记作 ija ,当 iT 对 iT 成绩残缺时约定 0 ija?。显然的有(i) 0, (ii) 1/ , (iii) 1 ij ji ij ij a a a a ? ? ?\*MERGEFORMAT (1) 矩阵( ) ij m n A a ??就称为
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