高等数学重积分总结(共11页).doc

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第九章 二重积分
二重积分的概念与性函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.
性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质3 若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则
性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则
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性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
推论
性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点,使
【基本问题导引】
根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：
1． ，其中
2．设D是由轴，轴与直线所围成的区域，则的大小关系是 .
【巩固拓展提高】
1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有，试证明在D内恒有f(x,y)＝0
2．估计的值，其中
3．设f(x,y)是有界闭区域D：上的连续函数，则的值为多少？
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【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
在直角坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的
计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似或的形式来表示，则我们可以将D分成若干块，并由积分性质
对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数
的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对积分，再对y积分，还是先对y积分，再对积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的边界曲线，画出
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D的草图；
②求出D边界曲线的交点坐标；
③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数；
④考虑是否要将D分成几块；
⑤用x,y的不等式表示D.
注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。
(3) 利用对称性等公式简化计算
设f(x,y)在区域D上连续，则
①当区域D关于x轴对称
若，则＝0；
若，则＝2，其中D1为D在x轴上方部分。
②当区域D关于y轴对称
若，则＝0；
若，则＝2，其中D2为D在y轴右侧部分。
③当区域D关于x轴和y轴都对称
若或，则＝0；
若，则＝4，其中D1为D
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在第一象限部分。
④轮换对称式
设D关于直线对称，则＝.
【基本问题导引】
一．判断题
1．4 ( )
2. 若f为连续函数，则
( )
【主要概念梳理】
直