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关于相关回归分析
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第一节 相关分析的基本问题
一、相关关系与函数关系
二、相关关系的种类
三、相关分析的主要内容
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函数关系是指现象之间存在确定性的数量依存关系。在
从表7-3也可以看出，100户家庭分布在不同的收入和支出区间内，在表中形成一个大致向右上方倾斜的数据分布带，可见家庭收入与消费支出之间有较强的正相关关系。
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对于单相关情况，相关系数测定方法与相关指标量化级别有关。对于定距变量或定比变量，通常采用皮尔逊线性相关系数公式测量相关密切程度，对于定序变量，通常采用斯皮尔曼等级相关或肯特尔等级相关系数公式测量相关密切程度，对于定类变量，则常常采用列联系数等来测量相关密切程度。
本节主要介绍常用的皮尔逊直线相关系数、斯皮尔曼等级相关系数和肯特尔等级相关系数的具体计算。
通过相关图表可以了解现象之间是否具有相关关系，但要想更具体地了解现象之间的相关密切程度，必须进一步测定相关系数。相关系数就是描述两个变量之间线性相关密切程度和相关方向的统计分析指标。
二、相关系数的测定
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（一）直线相关系数的计算
对于定距尺度的连续变量x和y，测定它们之间的线性相关关系最常用的方法是采用皮尔逊（Pearson）相关系数。根据资料情况不同，有不同的计算形式。其中的积差法是最基本表达式。
1、积差法
Pearson相关系数的基本公式可定义为：
式中， ——直线相关系数；
——变量数列x的标准差；
——变量数列y的标准差；
——变量数列x与y的协方差。
（7-3）
据此，式（7-3）可写成下式：
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（7-4）
2、相关系数r的简捷计算方法
积差法在计算过程中要使用两个数列的平均数，当平均数的小数位很多或除不尽时，计算会比较繁杂且影响最终结果的精确性。因此，计算相关系数常常采用其简捷公式：
（7-5）
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3、利用分组资料计算相关系数
（1）根据单变量分组表计算相关系数，可以在简单相关的基本公式基础上，以每组的次数为权数进行加权计算，公式如下：
（2）根据双变量分组表，也能计算相关系数，但一般很少采用。计算公式为：
式中， ——x组的次数；
——y组的次数；
——x与y交叉组的次数。
（7-6）
（7-7）
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4、直线相关系数r的统计检验
上述相关系数是基于样本计算的，是对总体相关系数的估计。因此需要对相关系数的显著性进行统计检验。
检验的内容包括两部分：一是总体线性相关的存在性检验，即检验总体线性相关系数是否为零；二是总体线性相关差异性检验，检验某一总体线性相关程度是否等于（或者单侧检验大于或小于）某一指定值，以及检验两个相关系数是否来自同一相关总体。
本节只讨论第一种情况。
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设随机变量（X,Y）服从于正态分布。总体相关系数记为。则对于由样本资料计算的皮尔逊相关系数r，需要检验以下原假设与备择假设：
在成立情况之下，有以下t 统计量：
在给定显著性水平之下，当，即表示总体线性相关系数显著不等于零，即线性相关关系（在一定程度上）是存在的。
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5、皮尔逊直线相关系数r的取值含义
(1) r的取值有一定的范围，在－1和＋1之间。
(2) r的正负号只表示相关的方向，不表示相关程度的大小，即表示正相关，表示负相关。
(3) 相关程度的大小要看相关系数绝对值的大小。越接近于1，表示相关密切程度越强，越接近于0，表示相关密切程度越弱，当时，就表示变量之间为完全相关。则表示完全不相关。
(4) 为了使判断有一定的标准，一般将相关程度设为以下几个强弱不同的等级：，～，～，。
(5) 皮尔逊直线相关系数是一种线性（直线）相关程度的度量。
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（二）等级相关系数的测定方法

皮尔逊相关系数一般适用于连续变量，且要求总体分布服从或近似服从正态分布。但在统计实践中，数据资料可能不能满足上述的条件，有些数据还是属性数据（如测定品质的优劣、爱好程度、信念、态度等）。对于这种以等级或次序进行