泰勒公式例题.docx

泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
泰勒公式及其应用
1引言
泰勒公武是高等数学中一个非常®要的内容，它将一些复杂函数近似地表示 为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的 inx （xtO）,从而
lim^^ = lim^ = lim0 = 0
x->0 X x->0 X x->0
当—0时，樹-皿— *0,应为辱一血“3宀加）
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物'不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷・
例当i牙> 0时\证明sinx>xx\
6
证明 取 f(x) = sinx-x + -x^,x^=Q,则
6
/(O) = OJ(O) = OJ(O) = O,厂0) = 1 -cos;vj・(0)>0・
带入泰勒公式，其中#23,得
蚀 =0 + 0 + 0 +匕讐F,其中OV0<1.
3!
当x>0 时,sinx>x — 一x\
6
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是山不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒 公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.
利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3判断广义积分依皿的收敛性。
解: Jx +1 +心-1 -2長=^7(^1 + — + J
利用泰勒公式将
,屮-：展开:
尼+ 心 2! X- X
- 2石=El + ± + i^± + o(A) + l - ± + + - 2}
2x 2! X- f 2x 2! x' f
匕+。(4),因此 疔「2 石 L]
40 妒 I-—I
4•卩
山于收敛，所以；^(^/7^T+J^T-2^/7)c^的收敛
例讨论级数E(韦一 jn竽的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难，因 而也就无法恰当选择判敛方法,注意到In匕匕= ln(l + b,若将其泰勒展开为丄的 n It n
幕的形式，开二次方后恰与亡相呼应，会使判敛容易进行.
解因为
In
"+1
= 111(1 + —) =——
It
T "1 ； T- + ■・ * V —. 2/r 3"'亦
It
所以
所以
/i + l
>0
故该级数是正向级数.
乂因为
/I + I
It
4n
所以
yfn 長
2/P
因为工
收敛，所以山正向级数比较判别法知原级数收敛.
利用泰勒公式证明根的唯一存在性
设 f{x)在 M+O0)上二阶可导，且 ,对
X€
a+s)j・<0'证明：f(x} = 0在(匕"0)内存在唯一实根.
分析：这里f(x)是抽象函数，直接讨论/(%) = 0的根有困难,山题设f(x)在 [4z)上二阶可导且f (a) > 0,/ (a) < 0,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,
然后设法应用戒指定理证明.
证明 因为/ (-V)<0 ,所以/(A)单调减少，乂 f \a)<Q ,因此x>a
时J M<f (a)<Q,故f(x)在()上严格单调减少•在a点展开一阶泰勒公式有
山题设/G/)<0,/(|)<0,于是有lim = Y,从而必存在b>a,使得/(b)<0,乂因
A—«C
为/(a)>0,在［",/?］上应用连续函数的介值定理，存在如e (a,/?)/吏/(%0)= 0,由f(x) 的严格单调性知儿唯一，因此方程/(x) = 0在(/〜)内存在唯一实根.
利用泰勒公式判断函数的极值
例⑷ (极值的第二充分条件)设/在％的某邻域内一阶可导，在 兀=勿处二阶可导，且八阳=0 J'g)工0.
若厂(心)<0,则/在凡取得极大值.
(ii)若厂(心)>0,则/在心取得极小值•
证明 山条件，可得f在心处的二阶泰勒公式
/(*)=于(兀0)+斗怦(尤一人,)+ 丄寻2(*-儿)2 +0((X-Xo)2).
1« 乙・
山于八心)=0炳此
/(X)-/(m)=[上畀 + 0(1)](龙一 XJ •(*)
乂因 f (如)= 0,故存在正数 J <C当 X€t/(Xo；J)时巧厂(“0 )与-/ (-V(j)+<7(1) 厶 乙
同号•所以，当厂(%0)<0时,(*)式取负值，从而对任意"5心$)有
/(x)-/(Xo)<O/
即/)>0,可得/在旺取得极小值.
利用泰勒公式求初等函数的幕级数展开式
利用基本初等函数的幕级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较 复朵的初等函数的幕级数展开式.
例求一 的幕级数展开式.
+ X + X'
解利用泰勒公式
/I