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离散傅立叶变换
第1页，共66页，编辑于2022年，星期五
第一节 傅立叶变换的几种形式
一、 引言
二、 傅立叶变换的几种形式
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一、 引 言
傅立叶变换对于信号的分析 。
证明：
设
则
(4-2-13)
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四、对称性
傅里叶变换相仿，一个周期序列的傅里叶级数表示式同样具有某些对称性质。

而 的傅里叶系数将为 ：
(4-2-14)
(4-2-15)
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一、 DFT的定义
二、 DFT和Z变换的关系
第三节 离散傅立叶变换（DFT）
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一、 DFT的定义
DFS在时域和频域都离散，但都具有周期性，和都是无限长。而计算机无法处理连续的周期的信号，取的一个周期，
(4-3-1)
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则定义的N点离散傅立叶变换DFT为
(4-3-2)
的离散傅立叶逆变换IDFT为
(4-3-3)
其中，称为DFT变换区间长度，大于或等于
的序列长度。
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和 长度都为N，具有唯一的映射对应关系。若N小于 的序列长度，则会出现时域混叠现象，不能正确反映信号的频谱。
DFT实际上来自于DFS，相当于在时域和频域各取一个周期，对其作周期延拓，即可得到 和 。
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例题

求
的10点DFT。
解：N=10，则
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二、DFT和Z变换的关系
长度为N的有限长序列 ，其Z变换和DFT变换分别为


令 ，可得：
(4-3-5)
(4-3-4)
(4-3-6)
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式4-3-6说明， 的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N 点等间隔采样，而连续谱
经N 点等间隔采样后即为离散谱
。
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一、线性关系
二、序列的循环位移
三、循环卷积定理
四、共轭对称性
五、帕斯瓦尔（Parseval）定理
第四节 离散傅立叶变换的性质
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一、线性关系
若序列 长度为N1， 长度为N2，取
则
式(4-4-1)
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二、序列的循环位移
先将序列 以N为周期进行周期性延拓，得到 ，一般将周期序列 中从n=0到n=N-1的第一个周期称为 的主值区间，而主值区间上的序列称为主值序列。
对 进行移位，得到 ，取 的主值序列 则得到有限长序列的循环移位序列 。
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即：
如图4-1所示，移位后，移出主值区的序列值，又将从另一端进入，故称循环移位。
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图4-1 序列的循环位移
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循环移位后的DFT为：
(4-4-2)
证明：
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由于
所以
以Ｎ为周期，改变求和区间，得：
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同理，若
则
(4-4-3)
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三、循环卷积定理
若序列 长度为N1， 长度为N2，取 ，其N点DFT分别为 和 ，若有
则 与 的循环卷积为
式(4-4-4)
式(