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离散傅立叶变换
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引言
几种傅立叶变换的形式
（1）傅立叶级数
----- 连续周期时间函数，周期为T
X(jkΩT) ---- 频率成分的幅度， ΩT = 2π/T称为基频，离散序列
傅里叶级数的系数
时域：连续周期  频域：离散非周期
（2）傅立叶积分
x (t) ----- 连续非周期时间函数
X(jΩ) ---- 连续频域函数（频谱） Ω表示频率
时域：连续非周期  频域：连续非周期
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（3）序列的傅立叶变换
x[n] ----- 非周期离散序列（无限长、有限长）
X(ejω) ----- 连续周期函数
时域：离散非周期  频域：连续周期
用于实际计算（计算机）的傅立叶变换的要求：
（1）时域序列----- 有限长
（2）其傅立叶变换----- 离散序列 ----- 有限长
时域：离散有限长  频域：离散有限长
称：离散傅立叶变换（DFT）
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离散傅立叶变换 ------- 数字信号处理算法 核心（基本）算法
推导离散傅立叶变换：周期序列 有限长序列 之间关系
第一步：周期序列的傅立叶变换 ----- 离散傅立叶级数（DFS）
第二步：周期序列 有限长序列 关系 ----- DFT
周期序列的表示：离散傅立叶级数
定义 为周期为N的周期序列，对任一整数n和r有：

考虑到：连续周期信号  各次谐波（复指数函数）之和
则，离散周期序列  基频为2π/N的复指数序列之和
----- 表示为离散傅立叶级数
复指数序列：
周期序列
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离散傅立叶级数表示式（定义）：
k为整数
连续周期信号的傅立叶级数
无穷多个谐波（频率）（之和）
离散周期信号的傅立叶级数
l为整数，表示N个独立周期复指数e0[n], e1[n], …, eN-1[n]
则：N个独立谐波（频率）（之和）
即：
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离散傅立叶级数的一半，直接构造（定义）出，作为变换，需求出
（推导）另一半（反变换）：
对上述两边乘以e-j(2π/N)rn，并从n = 0 到n = N-1求和，可得
交换右边求和次序，
考虑到复指数的正交性：
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可得：
即得傅立叶级数的系数：
由于
-------- 周期序列，周期为N（对于所有k）
也可以看成：有限长序列，对于k = 0, …, (N-1), 其它k，值为零
合理性： 只用到0 ≤ k ≤ (N-1)的
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离散傅立叶级数（DFS）的表示式：
时域：离散周期  频域：离散周期
定义符号：
DFS可表示为：
记号：
分析式（Analysis equation）
综合式（Synthesis equation）
均为周期为N的周期序列
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周期脉冲串的离散傅立叶级数
考虑一个周期脉冲串：
周期为N的脉冲
对于
根据DFS定义式求出DFS系数为：
再将结果代入综合式：
正交性：当n = rN，指数序列和为1，否则为零
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DFS的对偶性
离散傅立叶级数的对偶性
令DFS的系数为一周期为N的周期脉冲串：
代入DFS公式，得：
，可以看到：
非常相似，只相差常数因子和指数的符号
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