第一章 矩阵的相似变换.ppt

第一章 矩阵的相似变换
第1页，共62页，编辑于2022年，星期日
特征值与特征向量
第一章 矩阵的相似变换
定义 设 ，如果存在 和非零向量 二步 单位化
显然 是一个标准的正交向量组。
例1 运用正交化与单位化过程将向量组
化为标准正交向量组。
第20页，共62页，编辑于2022年，星期日
再单位化
解：先正交化
第21页，共62页，编辑于2022年，星期日
那么 即为所求的标准正交向量组。
第22页，共62页，编辑于2022年，星期日
定义：设 为一个 阶复矩阵，如果其满足
则称 是酉矩阵，一般记为
设 为一个 阶实矩阵，如果其满足
则称 是正交矩阵。
第23页，共62页，编辑于2022年，星期日
例：
是一个正交矩阵
第24页，共62页，编辑于2022年，星期日
是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
第25页，共62页，编辑于2022年，星期日
（5）设 且 ，如果
则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。
是一个酉矩阵
第26页，共62页，编辑于2022年，星期日
设 ，那么
酉矩阵与正交矩阵的性质：
第27页，共62页，编辑于2022年，星期日
定理： 设 ， 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。
第28页，共62页，编辑于2022年，星期日
酉相似下的标准形
定义：设 ，若存在
，使得
则称 酉相似(或正交相似)于
定理(Schur引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。
第29页，共62页，编辑于2022年，星期日
证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑
的阶数为 时的情况。
取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，
因为 构成 的一个标准正交基，故
第30页，共62页，编辑于2022年，星期日
，因此
第31页，共62页，编辑于2022年，星期日
令
那么
其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在
阶酉矩阵 满足
(上三角矩阵)
注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.
第32页，共62页，编辑于2022年，星期日
试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.
解: 首先求矩阵 的特征值
例: 已知矩阵
第33页，共62页，编辑于2022年，星期日
所以 为矩阵 的三重特征值. 当
时, 有单位特征向量
再解与其内积为零的方程
求得一个单位解向量
第34页，共62页，编辑于2022年，星期日
再解与 内积为零的方程组
求得一个单位解向量
取
第35页，共62页，编辑于2022年，星期日
计算可得
第36页，共62页，编辑于2022年，星期日
第37页，共62页，编辑于2022年，星期日
再求矩阵 的特征值
所以 为矩阵 的二重特征值. 当
时, 有单位特征向量
令
第38页，共62页，编辑于2022年，星期日
再解与其内积为零的方程
求得一个单位