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不一样的解法，不一样的精彩
 
 
 
 
 
   
 
 
 
中图分类号：：A
会解题，会讲题，讲透题是一个数学老师必备基本教学素养之一。作为一个数学老师，他肯定会   
 
   
不一样的解法，不一样的精彩
 
 
 
 
 
   
 
 
 
中图分类号：：A
会解题，会讲题，讲透题是一个数学老师必备基本教学素养之一。作为一个数学老师，他肯定会解题，但会讲题，能把题讲透，还是有一定的艺术。一个优秀的老师能从一题多解中或多题一解中讲出蕴含于题目之中的数学思想方法，把看似枯燥的解题讲出精彩，从而让学生触类旁通的学会解决一类数学问题的能力。以下通过一道题不同解法的探究，与大家一同欣赏不同解法中的不一样的精彩。
已知：如图1，△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，∠EBA=∠ACD=90°，BE=BA，AC=CD，点P是DE的中点，连接PB，PC。
求证：PB=PC，PB⊥PC.
这道题有时是以其它的形式来呈现出来的，比较说两个正方形的共顶点的旋转，或是一个正方形与一个等腰三角形共顶点的旋转，其实本质就是如图一的两个等腰三角形之间的旋转。无论是老师还是学生，刚接触到这道题都觉得难，难在无从下手。
下面我们从四个不同角度来探究这道题的解法：
第一个视觉：要证两线段相等，我首先考虑证这两条线段所在的三角形全等，而PB与PD所在的△PEB与△PDC不全等，于是我们得构造全等三角形。由于P是△ADE一边上中点，如果我们再找出其它两边上的中点就可以构造出三角形的中位线，而△ABE与△ACD又是等腰直角三角形，我们知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，于是再连接
BM与CN，至此我们构造出了△PMB与△CNP。具体证明如下：
证法一：如图2，分别取AE，AD的中点M，N，连接BM，PM，PN，CN，分别延长BM，PN相交于点S.
∵PE=PD∴PM∥AD，PM=AD；PN∥AE，PN=AE∴四边形PMAN是平行四边形∴∠PMA=∠ANP
∵CA=CD,AN=DN，∠ACD=90°∴CN=AD∴CN=PM，∠ANC=90°
同理可证BM=PN，∠BMA=90°∴∠PMA+∠BMA=∠ANP+∠ANC，即∠BMP=∠PNC
∴△PMB≌△CNP∴PB=PC，∠MBP=∠CPN
由于PN∥AE，BM⊥AE∴BS⊥PS∴∠SBP+∠SPB=90°∴∠SPB+∠NPC=90°
∴∠BPC=90°
这种解法的视角是全等三角形，精彩之处：一是构造三角形中位线，二是两个全等三角形有一条边垂直，其余两边也互相垂直。
第二个视角：把PE看成是△PCD的一边DP的等倍延长线，于是想到等倍延长PC，要证PB=PC，PB⊥PC，只要证SB=BC，然后通过三线合一可将问题解决。
第二种证明：
如图3，延长CP到S，使SP=PC，连接SE，BS，延长CA交直线SE于点T.
以下略。
这种解法的视角是中心对称，本题相当于把△PCD绕点P旋转了180°，从而把比较分散的条件相对的集中，这是几何证明常用的重要数学思想方法。本题的精彩在于利用是三线合一证线段的相等及线段的垂直。
第三个视角：如果PB=PC