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定积分
一、教材分析
定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”,我国古代刘徽用“割圆术”,都曾解决过一些面积和体积问题,这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的N—L公式,从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念,后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。因此,本章在积分学中占有重要的基础地位。定积分概念的形成反映了微积分的重要思想,定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求
1、理解定积分的概念及性质
2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。熟悉牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。
4、了解反常积分的概念
5、知道定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)
三、教学重点与难点
重点:定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法
难点:积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分
§5—1 定积分的概念与性质 3课时
§5—2 微积分基本公式 2课时
§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时
§5—4 反常积分 2课时
习题课 2课时
合计 12课时
五、本章知识结构图
定义
分割、近似、求和、取极限
几何意义
可积函数类
性质
积分上限函数
闭区间上连续函数
闭区间上至多有有限个第一类间断点
单调有界函数
定积分
定义
N—L公式
换元法
定积分的计算
分部积分法
利用函数的周期性、奇偶性
无穷积分与瑕积分的计算、收敛性判别
广义积分定义
第一节定积分的概念与性质
教学目的:


教学重点、难点:
:定积分的概念的形成
:用定积分定义求定积分
教学课时:3
教学过程:
一、定积分问题举例:
曲边梯形面积
设在上非负、连续,由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线
所围成的图形,称为曲边梯形。
求曲边梯形的面积:
在区间[a,b] 中任意插入若干个分点
,把[a,b]分成n个小区间[],[], …[],
它们的长度依次为:
经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形,在每个小区间[]上任取一点,以[]为底,为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形(i=1,2,…,n),把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即
=
设时,可得曲边梯形的面积
变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔[]上t的连续函数,且,计算在这段时间内物体所经过的路程S
在[]内任意插入若干个分点
把[]分成n个小段[],[],…, []
各小段时间长依次为:
相应各段的路程为:
在[]上任取一个时刻,以时的速度来代替[]上各个时刻的速度,则得:
进一步得到: =
设时,得:
二、定积分的定义
由上述两例可见,虽然所计算的量不同,但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间,其次它们的计算方法与步骤都相同,即归纳为一种和式极限,即
面积,路程.
将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义
定义设函数上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点

把区间[a,b]分成个小区间
各个小区间的长度依次为.
在每个小区间[]上任取一点,作函数值与小区间长度的乘积并作出和.
记,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[]上点怎样取法,只要当时,和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作,即
==,
其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.
注意:积分与积分变量无关,即:

函数可积的两个充分条件:
定理1 设上连续,则在[a,b]上可积。
定理2 设上有界,且只有有限个间断点,则上可积。
定积分的几何意义:表示由由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线所围成的图形面积的代数和。
例1利用定积分的几何意义, 说明下列等式:
例2利用定积分定义计算
解:连续函数,故可积,因此为方便计算,我们可以对[0,1]n等分,分点取相应小区间的右端点,故
=
==
(即),由定积分的定义得:
=
三、定积分的近似计算
若函数在区间上连续,则存在。把区间[a,b]分成个小区间每个小区间的长度均为,任取一点),则有=,
对任一确定的自然数,有
若取,则
记,则(左矩形公式)