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正弦定理、余弦定理总结和应用
高中数学 安徽铜陵 姚老师：1386650072理知b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋2－2×2×2×cos＝4，b＝.
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　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
解：∵sinB＋cosB＝，
∴sin＝，即sin＝1.
又∵B∈(0，π)，∴B＋＝，B＝.
根据正弦定理＝，可得sinA＝＝.
∵a＜b，∴A＜B.∴A＝.故填.
类型一　正弦定理的应用
　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由a＋c＝b及正弦定理可得sinA＋sinC＝sinB.
又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝sinA＋sinC＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝sin2(45°＋C)．
∴sin(45°＋C)＝2sin(45°＋C)cos(45°＋C)，
即cos(45°＋C)＝.
又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C＝15°.
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【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．
　()在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：对bsin－csin＝a应用正弦定理得sinBsin－sinCsin＝sinA，
即sinB－sinC＝，整理得sinBcosC－sinCcosB＝1，即sin＝1.
由于B，C∈，∴B－C＝.
(2)∵B＋C＝π－A＝，又由(1)知B－C＝，
∴B＝，C＝.
∵a＝，A＝，∴由正弦定理知b＝＝2sin，c＝＝2sin.
∴S△ABC＝bcsinA＝×2sin×2sin×
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＝sinsin＝cossin＝sin＝.
类型二　余弦定理的应用
　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理知，cosB＝，cosC＝，将上式代入＝－得
·＝－，
整理得a2＋c2－b2＝－ac.
∴cosB＝＝＝－.
∵B为三角形的内角，∴B＝π.
(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得13＝42－2ac－2accosπ，解得ac＝3.
∴S△ABC＝acsinB＝.
【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中
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的运用．
　若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4 C．1 D.
解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，代入(a＋b)2－c2＝4中得(a＋b)2－(a2＋b2－ab)＝4，即3ab＝4，∴ab＝.故选A.
类型三　正、余弦定理的综合应用
　()△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sin