圆的证明与计算(精编版)(共15页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE（SAS） ∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类分线有关.
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
例2： 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：CD是⊙O的切线.
证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
O
∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
∴.
∵OA=OB，
∴.
又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC∽△ODC，
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD，∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.
∵AC与⊙O相切，
∴AC⊥AO.
∵AC∥BD，
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B，
∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，
∴OF∥AC，
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF，
∴.
∴∠2=∠COF.
∴∠1=∠