函数矩阵与矩阵微分方程.ppt

函数矩阵与矩阵微分方程
北京理工大学高数教研室***
本讲稿第一页，共四十五页
称为函数矩阵，其中所有的元素
都是定义在闭区间 上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种元素
在 上可积，则称 在 上可积，且
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函数矩阵的定积分具有如下性质：
例1 ：已知函数矩阵
试计算
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证明：
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由于 ，所以
下面求 。由伴随矩阵公式可得
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再求
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例2 ：已知函数矩阵
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试求
例3 ：已知函数矩阵
试求
证明：
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同样可以求得
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例4 ：已知函数矩阵
试计算
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函数向量的线性相关性
定义：设有定义在区间 上的 个连续的函数向量
如果存在一组不全为零的常实数
使得对于所有的 等式
成立，我们称，在 上
线性相关。
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否则就说 线性无关。即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关。
定义：设 是 个定义在区间 上的连续函数向量
记
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以 为元素的常数矩阵
称为 的Gram矩阵，
称为Gram行列式。
定理：定义在区间 上的连续函数向量
线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。
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例 ： 设
则
于是 的Gram矩阵为
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所以
故当 时， 在 上是线性无关的。
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定义： 设
是 个定义在区间 上的
有 阶导数的函数向量，记
那么称矩阵
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是 的Wronski矩阵。
其中 分别是
的一阶，二阶，…， 阶导数矩阵。
定理： 设 是 的Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点
，常数矩阵 的秩等于 ，则向量 在 上线性无关。
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例 ： 设
则
因为 的秩为2，所以 与 线性无关。
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函数矩阵在微分方程中的应用
形如
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的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式