《概率论与数理统计》复习[统计学经典理论].doc

《概率论与数理统计》复习大纲
第一章随机事件与概率
基本概念
随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行,试验的结果具有多种可能性(每次试验有且仅有一个结果出现,且事先知道试验可能出现的一切结果,但不能预知每次试验的确切结果。
样本点w ---随机试验E的每一个可能出现的结果
样本空间W----随机试验E的样本点的全体
随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合,即随机事件是样本空间的一个子集。
必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件Æ--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系
包含AÌB
相等A=B
对立事件,也称A的逆事件
互斥事件AB=Æ也称不相容事件
A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)
例1事件A,B互为对立事件等价于( D )
A、A,B互不相容 B、A,B相互独立 C、A∪B=Ω
D、A,B构成对样本空间的一个剖分
例2设P(A)=0,B为任一事件,则( C )
A、A=Æ B、AÌB C、A与B相互独立 D、A与B互不相容
事件之间的运算
事件的交AB或A∩B
例1设事件A、B满足A∩=Æ,由此推导不出(D)
A、AÌB B、É C、A∪B=B D、A∩B=B
例2若事件B与A满足 B – A=B,则一定有(B)
A、A=Æ B、AB=Æ C、A=Æ D、B=
事件的并A∪B
事件的差A-B 注意: A-B = A = A-AB = (A∪B)-B
A1,A2,…,An构成W的一个完备事件组(或分斥)¾¾指A1,A2,…,An两两互不相容,且Ai=W
运算法则
交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A
结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶律=∩=∪
文氏图
事件与集合论的对应关系表
记号
概率论
集合论
W
样本空间,必然事件
全集
Æ
不可能事件
空集
w
基本事件
元素
A
事件
全集中的一个子集
A的对立事件
A的补集
AÌB
事件A发生导致事件B发生
A是B的子集
A=B
事件A与事件B相等
A与B相等
A∪B
事件A与事件B至少有一个发生
A与B的并集
AB
事件A与事件B同时发生
A与B的交集
A-B
事件A发生但事件B不发生
A与B的差集
AB=Æ
事件A与事件B互不相容(互斥)
A与B没有相同的元素
古典概型
古典概型的前提是W={w1, w2, w3,…, wn,}, n为有限正整数,且每个样本点wi出现的可能性相等。
例1设3个球任意投到四个杯中去,问杯中球的个数最多为1个的事件A1,最多为2个的事件A2的概率。
[解]:每个球有4种放入法,3个球共有43种放入法,所以|W|=43=64。
(1)当杯中球的个数最多为1个时,相当于四个杯中取3个杯子,每个杯子恰有一个球,所以|A1|= C3!=24;则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时,),),所以|A2|= =36;则P(A2)=36/64 =9/16 
例2从1,2,…,9,这九个数中任取三个数,求:(1)三数之和为10的概率p1;(2)三数之积为21的倍数的概率p2。
[解]:p1==, p2= = 
P(A)= =
几何概型
前提是如果在某一区域W任取一点,而所取的点落在W中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。
若AÌW,
则P(A)=
例1把长度为a的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率。
[解]:设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y,那么,样本空间,S={(x,y)|0£x£a,0£y£a,0£a-x-y£a}。而随机事件A:”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则,得到联立方程组,
解得 0<x< , 0<y< , <x+y<a 。即G={(x,y)| 0<x< , 0<y< , <x+y<a }
由图中计算面积之比,可得到相应的几何概率 P(A)= 1/4。
古典概型基本性质
(1)非负性,对于任一个事件A,有P(A)³0;
(2)规范性:P(W)=1或P(Æ)=0;
(3)有限可加性:对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)
概率的公理化定义
要求函数P(A)满足以下公理:
(1)非负性,有P(A)³0;
(2)规范性:P(W)=1;
(3)可列可加性:对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A