高考数学平面向量知识点归纳习题.docx

高中数学向量专题
【根底学问精讲】

既有方向，. 表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用、、留意M｜=｜NC｜.
又由图可知：与的方向一样.
∴=
【难题巧解点拔】
例1 如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对角线AC与BD的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={｜任P，Q∈M，且P、Q不重合}，试求集合T的子集个数.
分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清晰集合T中有多少个相异的向量.
解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=..
说明：在上述解题过程中，.
例2 已知；如图，点D在△ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，=.
(1)求证：△BDE∽△DCF.
(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?
证明：(1)∵=
∴DF∥AE，｜DF｜=｜EA｜.
从而，得：四边形AEDF是平行四边形
∴DE∥AF，｜DE｜=｜AF｜
由DE∥AF可得：∠BDE=∠C
由DF∥AE可得：∠B=∠FDC
∴△BDE∽△DCF
(2)设｜BC｜=a,｜AC｜=b,｜AB｜=c,｜BD｜=x,则｜DC｜=a-x.
∵△BDE∽△DCF.
∴==
从而，=，设比为k1.
=，设比为k2.
由｜BE｜+｜DF｜=c,｜ED｜+｜FC｜=b.
可得：xk1+(a-x)k1=c,∴k1=.
xk2+(a-x)k2=b,∴k2=.
∴｜DF｜=(a-x)
｜DE｜=x
由点F作FT⊥AB，垂足为T
由锐角三角函数，｜FT｜=｜AF｜sinA=x·sinA
∴S□AEDF=｜DF｜·｜FT｜=(a-x)·x·sinA
= (ax-x2)sinA
=［-(x-)2］sinA≤sinA
当且仅当x=时，等号成立.
答：D是BC边的中点时，S□AEDF取到最大值.
例3 如图A1，A2，…A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2…A8及圆心O九个点中随意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?
分析：(1)由于A1、A2…A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙ (i=1,2,…，8)两类.
(2)⊙O内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.
解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，…，8)共8个；另一类是 (i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.
(2)以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1